Seja
uma função que não é definida em um ponto
. Uma função
tal que
se
e tal que
é contínua em
é dita uma extensão contínua de
em
. O ponto
também é chamado de singularidade removível e, por um abuso de linguagem, também é chamado de descontínuadade removível. Se
está definida em
e mesmo assim não é contínua em
e formos capazes de definir uma função
contínua em
e tal que
se
, então
é chamado também de descontínuidade removível e
de extensão contínua de
. Note que em ambos os casos, podemos "concertar"a descontínuidade da função alterando ou inserindo um valor dela no ponto
. Nos itens a seguir, ache a extensão contínua de
no ponto dado:
em
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para “consertar” a descontinuidade em
encontrando uma extensão contínua de
em
. Para isso, vamos verificar se o limite de
quando
existe e, em caso afirmativo, igualar o valor de
a esse limite.
Passo 2
Calculamos o limite à esquerda em
. Como para
vale
, temos
Passo 3
Agora calculamos o limite à direita em
. Como para
vale
, temos
Passo 4
Como
o limite
existe e vale
. Basta então definir
para que a função resultante seja contínua em
.
Resposta
A extensão contínua de
em
é