Seja f(x) uma função que não é definida em um ponto x_{0} \in \mathbb{R}. Uma função g(x) tal que g(x)=f(x) se x \neq x_{0} e tal que g(x) é contínua em x_{0} é dita uma extensão contínua de f em x_{0}. O ponto x_{0} também é chamado de singularidade removível e, por um abuso de linguagem, também é chamado de descontínuadade removível. Se f(x) está definida em x_{0} e mesmo assim não é contínua em x_{0} e formos capazes de definir uma função g(x) contínua em x_{0} e tal que g(x)=f(x) se x \neq x_{0}, então x_{0} é chamado também de descontínuidade removível e g(x) de extensão contínua de f. Note que em ambos os casos, podemos "concertar"a descontínuidade da função alterando ou inserindo um valor dela no ponto x_{0}. Nos itens a seguir, ache a extensão contínua de f no ponto dado:
g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & \text { se } x<1, \\\ \frac{1}{x}, & \text { se } x>1\end{array} \quad\right. em x_{0}=1

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)= \begin{cases} x, & \text{se }x<1,\\\ \frac{1}{x}, & \text{se }x>1, \end{cases}
e pede para “consertar” a descontinuidade em x_{0}=1 encontrando uma extensão contínua de g em 1. Para isso, vamos verificar se o limite de g(x) quando x\to1 existe e, em caso afirmativo, igualar o valor de g(1) a esse limite.

Passo 2

Calculamos o limite à esquerda em x=1. Como para x<1 vale g(x)=x, temos
\lim_{x\to1^-}g(x) =\lim_{x\to1^-}x =1.

Passo 3

Agora calculamos o limite à direita em x=1. Como para x>1 vale g(x)=\tfrac1x, temos
\lim_{x\to1^+}g(x) =\lim_{x\to1^+}\frac{1}{x} =\frac{1}{1} =1.

Passo 4

Como
\lim_{x\to1^-}g(x) =\lim_{x\to1^+}g(x) =1,
o limite \lim_{x\to1}g(x) existe e vale 1. Basta então definir
g(1)=1
para que a função resultante seja contínua em x=1.

Resposta

A extensão contínua de g em x_{0}=1 é
g(x)= \begin{cases} x, & x<1,\\\\ 1, & x=1,\\\ \frac{1}{x}, & x>1. \end{cases}

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