Seja f(x) uma função e seja a \in \mathbb{R}, de modo que |f(x)-f(a)| \leq|x-a|, \forall x \in \mathbb{R}. Mostre que f é contínua em a.

Passo 1

O enunciado diz que existe uma função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} e um ponto a\in\mathbb{R} tais que, para todo x\in\mathbb{R},
|f(x)-f(a)| \le |x-a|.
Queremos mostrar que f é contínua em a. Para isso vamos usar a definição \varepsilon
obreakdash- \delta de continuidade.

Passo 2

Seja arbitrário \varepsilon>0. Para provar continuidade em a precisamos encontrar \delta>0 tal que, sempre que |x-a|<\delta, tenhamos |f(x)-f(a)|<\varepsilon.

Passo 3

A condição dada nos dá imediatamente
|f(x)-f(a)| \le |x-a|.
Basta então escolher \delta = \varepsilon. Se |x-a|<\delta, então
|f(x)-f(a)| \le |x-a| < \delta = \varepsilon.

Resposta

Portanto, pelos critérios de \varepsilon
obreakdash- \delta, f é contínua em a.

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