Uma funçao g(x) é dita limitada se existe M \in \mathbb{R} tal que |g(x)| \leq M para todo x no domínio de g. Seja g(x) uma função limitada e f(x) uma função tal que \lim _{x \rightarrow a} f(x)=0. Mostre que \lim _{x \rightarrow a} f(x) g(x)=0.

Passo 1

O enunciado diz que g(x) é limitada, ou seja, existe M\in\mathbb{R} tal que
|g(x)|\le M
para todo x no domínio de g, e que
\lim_{x\to a}f(x)=0.
O objetivo é provar que
\lim_{x\to a}f(x)\,g(x)=0.
O método será um argumento \varepsilon- \delta, explorando o fato de que |g(x)| fica preso abaixo de M.

Passo 2

Se M=0, então |g(x)|\le0 implica g(x)=0 para todo x. Nesse caso f(x)\,g(x)=0 identicamente e logo
\lim_{x\to a}f(x)\,g(x)=0
é imediato.

Passo 3

Agora suponha M>0. Seja arbitrário \varepsilon>0. Como \lim_{x\to a}f(x)=0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, vale
|f(x)|<\frac{\varepsilon}{M}.

Passo 4

Para 0<|x-a|<\delta temos
|f(x)\,g(x)| = |f(x)|\,|g(x)| \le |f(x)|\;M < \frac{\varepsilon}{M}\,M = \varepsilon.
Isso demonstra, pelo critério \varepsilon- \delta, que
\lim_{x\to a}f(x)\,g(x)=0.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\,g(x)=0.

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