Seja
Calcule os valores
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
Precisamos calcular os valores de
,
,
,
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e derivação, como o Teorema Fundamental do Cálculo e regras de derivação.
Passo 2
Vamos começar calculando
. A integral vai de 1 até 1, ou seja, os limites de integração são iguais. Quando isso acontece, a área sob a curva é zero. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. A integral de 1 a -1 pode ser reescrita mudando os limites de integração e o sinal:
Observando que a função
é ímpar (porque o numerador é ímpar e o denominador é par), a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em relação à origem é zero. Logo:
Passo 4
Vamos encontrar a primeira derivada
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma função definida por uma integral é o integrando avaliado no ponto
. Então:
Agora, podemos calcular
e
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Precisamos derivar
:
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Fatorando:
Agora, calculamos em
e
:
Para
:
Para
: