Seja
f(x)=\left\{\begin{array}{c} \frac{1-x}{1-\sqrt[3]{x}} \text { se } x \neq 1 \\\ \operatorname{c} \text { se } x=1 \end{array}\right.
Encontre o valor de c para que f seja contínua em x=1. Gabarito: \mathrm{c}=3.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1-x}{1-\sqrt[3]{x}},& x\neq1,\\[6pt] c,& x=1, \end{cases}
e pede o valor de c que torna f contínua em x=1. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade: é preciso que
\lim_{x\to1}f(x)=f(1)=c.]

Passo 2

Calculemos \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{1-x}{1-\sqrt[3]{x}}. Defina t=\sqrt[3]{x}; então x=t^3 e, quando x\to1, tem-se t\to1. A expressão vira
\frac{1-x}{1-\sqrt[3]{x}} =\frac{1-t^3}{1-t} =\frac{(1-t)(1+t+t^2)}{1-t} =1+t+t^2.
Assim,
\lim_{x\to1}\frac{1-x}{1-\sqrt[3]{x}} =\lim_{t\to1}(1+t+t^2) =1+1+1=3.

Passo 3

Para continuidade em x=1, precisamos de
c=\lim_{x\to1}f(x)=3.

Resposta

c=3

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