Seja f(x)=\operatorname{tg}\left(x^{3}\right)+e^{x} \ln \left(x^{2}+1\right)+\operatorname{arctg}(x).
a) Calcule f^{\prime}(x) e f^{\prime}(0).
b) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) em x=0.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\tan\bigl(x^{3}\bigr)+e^{x}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+\arctan(x)
e pede (a) a derivada f'(x) e seu valor em x=0, e (b) a equação da reta tangente em x=0. Vamos usar regra da cadeia, regra do produto e derivada de funções elementares.

Passo 2

Derivamos o primeiro termo \tan\bigl(x^{3}\bigr). Usando regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\tan\bigl(x^{3}\bigr) =\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) =3x^{2}\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr).

Passo 3

Derivamos o segundo termo e^{x}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) por produto:
\frac{d}{dx}\bigl[e^{x}\ln(x^{2}+1)\bigr] =e^{x}\ln(x^{2}+1)+e^{x}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 4

Derivada do terceiro termo \arctan(x) é
\frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Somando tudo, obtemos
f'(x) =3x^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr) +e^{x}\ln(x^{2}+1) +\frac{2x\,e^{x}}{x^{2}+1} +\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 5

Para x=0 temos
3\cdot0^{2}\operatorname{sec}^{2}(0)+e^{0}\ln1+\frac{2\cdot0\,e^{0}}{1}+\frac{1}{1+0} =0+0+0+1=1.
Logo, f'(0)=1.

Passo 6

Como f(0)=\tan0+e^{0}\ln1+\arctan0=0, a reta tangente em x=0 tem equação
y=f(0)+f'(0)\,(x-0)=1\cdot x,
ou seja y=x.

Resposta

f'(x)=3x^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr)+e^{x}\ln(x^{2}+1)+\dfrac{2x\,e^{x}}{x^{2}+1}+\dfrac{1}{1+x^{2}},\quad f'(0)=1.
A reta tangente em x=0 é y=x.

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