f(x)=\left\{\begin{array}{c} (x-3)^{4} \cos ^{2}\left(\frac{2}{x-3}\right) \text { se } x<3 \\\\ 0 \text { se } x=3 \\\ \frac{\sqrt{x+6}-x}{x^{3}-3 x^{2}} \text { se } x>3 \end{array}\right.
obs: Nesse exercício você deve calcular todos os limites laterais necessários.
a) f é contínua em x=3 ? justifique sua resposta.
b) f é diferenciável em x=3 ? justifique sua resposta.
c) Encontre uma expressão para f^{\prime}(x), quando x \neq 3.
e pede (a) verificar continuidade em x=3, (b) diferenciabilidade em x=3 e (c) encontrar f'(x) para x\neq3. Para (a) vamos calcular os limites laterais em x=3; para (b) usar o fato que diferenciabilidade implica continuidade; para (c) aplicar regra do produto e cadeia para x<3 e regra do quociente para x>3.
Passo 2
Calculamos o limite pela esquerda. Para x<3 escreva t=x-3\to0^{-}. Então
Como \lim_{x\to3^-}f(x)\neq\lim_{x\to3^+}f(x), f não é contínua em x=3.
Passo 5
Diferenciabilidade em x=3 exigiria continuidade em x=3. Como f não é contínua ali, f também não é diferenciável em x=3.
Passo 6
Para x<3 temos f(x)=(x-3)^{4}\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{2}{x-3}\bigr). Use regra do produto u=(x-3)^{4}, v=\cos^{2}(2/(x-3)). u'=4(x-3)^{3}.
Para v, seja t=2/(x-3), então
Dessa forma obtém-se a expressão completa de f'(x) para x>3.
Resposta
a) f não é contínua em x=3 porque \lim_{x\to3^-}f(x)=0\neq-5/54=\lim_{x\to3^+}f(x).
b) f não é diferenciável em x=3 pois não é contínua ali.
c) Para x<3: