Seja
f(x)=\left\{\begin{array}{c} (x-3)^{4} \cos ^{2}\left(\frac{2}{x-3}\right) \text { se } x<3 \\\\ 0 \text { se } x=3 \\\ \frac{\sqrt{x+6}-x}{x^{3}-3 x^{2}} \text { se } x>3 \end{array}\right.
obs: Nesse exercício você deve calcular todos os limites laterais necessários.
a) f é contínua em x=3 ? justifique sua resposta.
b) f é diferenciável em x=3 ? justifique sua resposta.
c) Encontre uma expressão para f^{\prime}(x), quando x \neq 3.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} (x-3)^{4}\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{2}{x-3}\bigr),&x<3,\\\\ 0,&x=3,\\\ \dfrac{\sqrt{x+6}-x}{x^{3}-3x^{2}},&x>3, \end{cases}
e pede (a) verificar continuidade em x=3, (b) diferenciabilidade em x=3 e (c) encontrar f'(x) para x\neq3. Para (a) vamos calcular os limites laterais em x=3; para (b) usar o fato que diferenciabilidade implica continuidade; para (c) aplicar regra do produto e cadeia para x<3 e regra do quociente para x>3.

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda. Para x<3 escreva t=x-3\to0^{-}. Então
f(x)=(x-3)^{4}\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{2}{x-3}\bigr)=t^{4}\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{2}{t}\bigr).
Como \cos^{2}(\cdot) é limitada em [0,1] e t^{4}\to0, pelo teorema do sanduíche
\lim_{x\to3^-}f(x)=0.

Passo 3

Para o limite pela direita, note que para x>3 f(x)=\frac{\sqrt{x+6}-x}{x^{3}-3x^{2}} =\frac{\sqrt{x+6}-x}{x^{2}(x-3)}.
Multiplique numerador e denominador por \sqrt{x+6}+x:
\sqrt{x+6}-x =\frac{(x+6)-x^{2}}{\sqrt{x+6}+x} =-\frac{(x-3)(x+2)}{\sqrt{x+6}+x}.
Logo
f(x) =-\frac{(x-3)(x+2)}{x^{2}(x-3)\bigl(\sqrt{x+6}+x\bigr)} =-\frac{x+2}{x^{2}\bigl(\sqrt{x+6}+x\bigr)}.
Tomando x\to3^+ obtemos
\lim_{x\to3^+}f(x) =-\frac{3+2}{3^{2}(3+3)} =-\frac{5}{54}.

Passo 4

Comparando os limites:
\lim_{x\to3^-}f(x)=0,\quad \lim_{x\to3^+}f(x)=-\tfrac{5}{54},\quad f(3)=0.
Como \lim_{x\to3^-}f(x)\neq\lim_{x\to3^+}f(x), f não é contínua em x=3.

Passo 5

Diferenciabilidade em x=3 exigiria continuidade em x=3. Como f não é contínua ali, f também não é diferenciável em x=3.

Passo 6

Para x<3 temos f(x)=(x-3)^{4}\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{2}{x-3}\bigr). Use regra do produto u=(x-3)^{4}, v=\cos^{2}(2/(x-3)). u'=4(x-3)^{3}.
Para v, seja t=2/(x-3), então
v'=\frac{d}{dx}\bigl(\cos^{2}t\bigr) =2\cos t\,(-\sin t)\,\frac{dt}{dx} =-2\cos t\,\sin t\,\Bigl(-\frac{2}{(x-3)^{2}}\Bigr) =\frac{4\cos t\sin t}{(x-3)^{2}} =\frac{2\sin(2t)}{(x-3)^{2}}.
Voltando a t=2/(x-3):
f'(x)=u'v+u\,v' =4(x-3)^{3}\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{2}{x-3}\bigr) +2(x-3)^{2}\sin\!\bigl(\tfrac{4}{x-3}\bigr).

Passo 7

Para x>3 usamos a forma simplificada
f(x)=-\frac{x+2}{x^{2}\bigl(\sqrt{x+6}+x\bigr)}.
Aplicando regra do quociente, se h(x)=x^{2}(\sqrt{x+6}+x) e g(x)=-(x+2), então
f'(x) =\frac{g'(x)\,h(x)-g(x)\,h'(x)}{[h(x)]^{2}},
com
g'(x)=-1, \quad h'(x) =2x\sqrt{x+6}+x^{2}\frac{1}{2\sqrt{x+6}}+3x^{2}.
Dessa forma obtém-se a expressão completa de f'(x) para x>3.

Resposta

a) f não é contínua em x=3 porque \lim_{x\to3^-}f(x)=0\neq-5/54=\lim_{x\to3^+}f(x).
b) f não é diferenciável em x=3 pois não é contínua ali.
c) Para x<3:
f'(x)=4(x-3)^{3}\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{2}{x-3}\bigr) +2(x-3)^{2}\sin\!\bigl(\tfrac{4}{x-3}\bigr).
Para x>3:
f'(x) =\frac{-1\cdot x^{2}(\sqrt{x+6}+x) -(-x-2)\bigl(2x\sqrt{x+6}+x^{2}/(2\sqrt{x+6})+3x^{2}\bigr)} {\bigl[x^{2}(\sqrt{x+6}+x)\bigr]^{2}}.

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