Seja
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x, \text { se } \quad x \in \mathbb{Q} \\\\ 1-x, \quad \text { se } \quad x \notin \mathbb{Q} . \end{array}\right.
Para quais valores de a existe \lim _{x \rightarrow a} f(x) ? Nos pontos onde existe tal limite, qual é o seu valor?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x, &\text{se }x\in\mathbb{Q},\\\\ 1-x, &\text{se }x\notin\mathbb{Q}, \end{cases}
e pede para quais a\in\mathbb{R} existe \lim_{x\to a}f(x) e, onde existir, qual é esse valor. O conteúdo aqui é estudo de limite de função definida de forma diferente em racionais e irracionais.

Passo 2

Para existir \lim_{x\to a}f(x), as aproximações através de sequências de pontos racionais e de pontos irracionais devem convergir ao mesmo número. Primeiro, calculemos o limite ao longo de pontos racionais:
\lim_{\substack{x\to a\x\in\mathbb{Q}}}f(x) =\lim_{\substack{x\to a\x\in\mathbb{Q}}}x =a.

Passo 3

Agora, o limite ao longo de pontos irracionais:
\lim_{\substack{x\to a\x\notin\mathbb{Q}}}f(x) =\lim_{\substack{x\to a\x\notin\mathbb{Q}}}(1-x) =1-a.

Passo 4

Para que o limite global exista, é necessário que
a=1-a.
Isso leva a
2a=1 \quad\Longrightarrow\quad a=\tfrac12.
Nesse caso, ambos os limites (racionais e irracionais) valem
a=\tfrac12.

Resposta

O limite \lim_{x\to a}f(x) existe somente para a=\tfrac12, e seu valor é
\lim_{x\to \tfrac12}f(x)=\tfrac12.

Exercícios relacionados