Seja
uma função limitada, isto é, existe
tal que
. Mostre que:
(a)
(b) Se
, então
(a)
(b) Se
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma função
limitada, ou seja, existe
tal que
Precisamos mostrar dois limites envolvendo produto com
:
(a) .
(b) Se , então
.
O conteúdo principal é usar a definição epsilon-delta de limite e a desigualdade
(a)
(b) Se
O conteúdo principal é usar a definição epsilon-delta de limite e a desigualdade
Passo 2
Prova de (a): fixemos um
. Como
, temos
Para garantir
basta exigir
Logo, escolhemos
Então, sempre que
, segue
o que, pela definição de limite, prova que
.
Passo 3
Concluímos, portanto, que
Passo 4
Prova de (b): suponha
. Queremos mostrar
. De novo, usando
, obtemos
Dado
, como
, existe
tal que, sempre que
, vale
Então, para esses
,
Passo 5
Assim, pela definição de limite, concluímos
Resposta
(a)
(b) Se , então
(b) Se