Seja f: X \rightarrow \mathbb{R} uma função limitada, isto é, existe M>0 tal que |f(x)| \leq M, \forall x \in X. Mostre que:
(a) \lim _{x \rightarrow 0} x f(x)=0
(b) Se \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0, então \lim _{x \rightarrow a} f(x) g(x)=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma função f:X\to\mathbb{R} limitada, ou seja, existe M>0 tal que
|f(x)|\le M,\quad\forall x\in X.
Precisamos mostrar dois limites envolvendo produto com f:
(a) \displaystyle\lim_{x\to0}x\,f(x)=0.
(b) Se \displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0, então \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\,g(x)=0.
O conteúdo principal é usar a definição epsilon-delta de limite e a desigualdade
|x\,f(x)|\le |x|\,|f(x)| \le M|x|.

Passo 2

Prova de (a): fixemos um \varepsilon>0. Como |f(x)|\le M, temos
|x\,f(x)-0| = |x\,f(x)| \le M\,|x|.
Para garantir |x\,f(x)|<\varepsilon basta exigir
M\,|x|<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\frac{\varepsilon}{M}.
Logo, escolhemos
\delta = \frac{\varepsilon}{M}.
Então, sempre que |x-0|<\delta, segue
|x\,f(x)-0|<\varepsilon,
o que, pela definição de limite, prova que \lim_{x\to0}x\,f(x)=0.

Passo 3

Concluímos, portanto, que
\lim_{x\to0}x\,f(x)=0.

Passo 4

Prova de (b): suponha \lim_{x\to a}g(x)=0. Queremos mostrar \lim_{x\to a}f(x)\,g(x)=0. De novo, usando |f(x)|\le M, obtemos
|f(x)\,g(x)-0| = |f(x)\,g(x)| \le M\,|g(x)|.
Dado \varepsilon>0, como \lim_{x\to a}g(x)=0, existe \delta>0 tal que, sempre que |x-a|<\delta, vale
|g(x)-0| = |g(x)| < \frac{\varepsilon}{M}.
Então, para esses x,
|f(x)\,g(x)| \le M\,|g(x)| < M\cdot\frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon.

Passo 5

Assim, pela definição de limite, concluímos
\lim_{x\to a}f(x)\,g(x)=0.

Resposta

(a) \displaystyle\lim_{x\to0}x\,f(x)=0.
(b) Se \displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0, então \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\,g(x)=0.

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