Seja f(x) = log_3(raiz(1 + 2^x)).
© f é invertível? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta está nos perguntando se a função é invertível. Vamos usar conceitos de funções e suas propriedades para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser invertível. Uma função é invertível se cada valor de saída corresponder a apenas um valor de entrada. Em outras palavras, a função precisa ser injetora (ou seja, não ter dois valores diferentes de que dão o mesmo ) e sobrente (cada possível saída está coberta pela função).

Passo 3

Para verificar se é injetora, podemos analisar se a função é monótona (sempre crescente ou sempre decrescente). Se for, então ela é injetora. Vamos conferir.

Passo 4

Observando , sabemos que o logaritmo de uma função crescente também é uma função crescente, desde que a base do logaritmo seja maior que 1, o que é o caso aqui (base 3).

Passo 5

Dentro do logaritmo, temos . A função é sempre crescente, então também é crescente. Como a raiz quadrada de uma função crescente também é crescente, todo o argumento do logaritmo é uma função crescente.

Passo 6

Portanto, é uma composição de funções crescentes, o que significa que também é estritamente crescente. Isso garante que não há dois valores diferentes de que resultem no mesmo .

Passo 7

Como é estritamente crescente e, portanto, injetora, e o logaritmo está definido para todos os onde (o que é sempre verdadeiro), a função cobre todo o seu domínio sem repetir valores de saída.

Resposta

Sim, a função é invertível porque é estritamente crescente e, portanto, injetora.

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