Seja
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é invertível? Justifique.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta está nos perguntando se a função
é invertível. Vamos usar conceitos de funções e suas propriedades para descobrir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser invertível. Uma função é invertível se cada valor de saída corresponder a apenas um valor de entrada. Em outras palavras, a função precisa ser injetora (ou seja, não ter dois valores diferentes de
que dão o mesmo
) e sobrente (cada possível saída está coberta pela função).
Passo 3
Para verificar se
é injetora, podemos analisar se a função é monótona (sempre crescente ou sempre decrescente). Se for, então ela é injetora. Vamos conferir.
Passo 4
Observando
, sabemos que o logaritmo de uma função crescente também é uma função crescente, desde que a base do logaritmo seja maior que 1, o que é o caso aqui (base 3).
Passo 5
Dentro do logaritmo, temos
. A função
é sempre crescente, então
também é crescente. Como a raiz quadrada de uma função crescente também é crescente, todo o argumento do logaritmo é uma função crescente.
Passo 6
Portanto,
é uma composição de funções crescentes, o que significa que
também é estritamente crescente. Isso garante que não há dois valores diferentes de
que resultem no mesmo
.
Passo 7
Como
é estritamente crescente e, portanto, injetora, e o logaritmo está definido para todos os
onde
(o que é sempre verdadeiro), a função
cobre todo o seu domínio sem repetir valores de saída.
Resposta
Sim, a função
é invertível porque é estritamente crescente e, portanto, injetora.