Seja f(x) = x * e^x. Obtenha sua enésima derivada. Dica: faça as três primeiras derivadas e depois generalize.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a enésima derivada da função . Isso significa que queremos derivar essa função várias vezes e descobrir uma fórmula geral para qualquer número de derivações. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a regra do produto para derivadas, e observar um padrão ao calcular as primeiras derivadas para depois generalizar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Aqui, e .
  • Derivada de ( ) é 1.
  • Derivada de ( ) é .
Então,

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada. Derivamos novamente usando a regra do produto.
Aqui, e .
  • Derivada de ( ) é .
  • Derivada de ( ) é 1.
Então,

Passo 4

Vamos para a terceira derivada, derivando :
Aqui, e .
  • Derivada de ( ) é .
  • Derivada de ( ) é 1.
Então,

Passo 5

Observando as derivadas calculadas:
Percebemos que a enésima derivada segue o padrão .

Resposta

A enésima derivada de é:

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