Sabendo-se que d/dx sen(x) = cos(x) e d/dx cos(x) = -sen(x), encontre d/dx sec(x)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções trigonométricas básicas que já conhecemos, como e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil de derivar. Sabemos que:
Então, nosso objetivo agora é derivar .

Passo 3

Para derivar , vamos usar a regra do quociente para derivadas. A regra do quociente nos diz que se temos uma função na forma , a derivada dela é:
No nosso caso, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar , que é a derivada de . Sabemos que:
Então, substituindo na fórmula da regra do quociente:

Passo 5

Podemos simplificar a expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
E que:
Então, multiplicando essas duas, temos:

Resposta

A derivada de é .

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