Seja f: X \rightarrow Y uma aplicação e seja \left\{A_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda} uma família de subconjuntos de X. Prove que:
(a) f\left(\bigcup_{\lambda} A_{\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda} f\left(A_{\lambda}\right);
(b) f\left(\bigcap_{\lambda} A_{\lambda}\right) \subseteq \bigcap_{\lambda} f\left(A_{\lambda}\right) ;
(c) dê um exemplo onde f\left(\bigcap_{\lambda} A_{\lambda}\right) \neq \bigcap_{\lambda} f\left(A_{\lambda}\right).

Passo 1

O enunciado trata de uma aplicação f\colon X\to Y e de uma família de subconjuntos \{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} de X. Queremos mostrar propriedades da imagem direta de união e de interseção, usando apenas definições de união, interseção e imagem de conjunto.

Passo 2

Provar que
f\Bigl(\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}\Bigr)\subseteq \bigcup_{\lambda}f(A_{\lambda}).
Seja y\in f(\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}). Então existe x\in \bigcup_{\lambda}A_{\lambda} tal que f(x)=y. Por definição de união, esse x pertence a algum A_{\lambda_{0}}. Logo y=f(x)\in f(A_{\lambda_{0}})\subseteq \bigcup_{\lambda}f(A_{\lambda}). Assim a inclusão está provada.

Passo 3

Provar a outra inclusão
\bigcup_{\lambda}f(A_{\lambda})\subseteq f\Bigl(\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}\Bigr).
Seja y\in \bigcup_{\lambda}f(A_{\lambda}). Então existe \lambda_{0} tal que y\in f(A_{\lambda_{0}}). Logo existe x\in A_{\lambda_{0}}\subseteq \bigcup_{\lambda}A_{\lambda} com f(x)=y. Isso mostra y\in f(\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}). Concluímos
f\Bigl(\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}\Bigr)=\bigcup_{\lambda}f(A_{\lambda}).

Passo 4

Mostrar que
f\Bigl(\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}\Bigr)\subseteq \bigcap_{\lambda}f(A_{\lambda}).
Seja y\in f(\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}). Então existe x\in \bigcap_{\lambda}A_{\lambda} com f(x)=y. Como esse x está em cada A_{\lambda}, segue y=f(x)\in f(A_{\lambda}) para todo \lambda. Portanto y pertence à interseção \bigcap_{\lambda}f(A_{\lambda}), provando a inclusão.

Passo 5

Exemplo em que a igualdade falha. Considere f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por f(x)=x^{2} e os conjuntos
A_{1}=[-1,0],\quad A_{2}=[0,1].
Temos
\bigcap_{i=1}^{2}A_{i}=\{0\},\quad f(\{0\})=\{0\},
porém
f(A_{1})=[0,1],\quad f(A_{2})=[0,1],\quad \bigcap_{i=1}^{2}f(A_{i})=[0,1].
Logo
f\Bigl(\bigcap_{i=1}^{2}A_{i}\Bigr)=\{0\}\neq[0,1]=\bigcap_{i=1}^{2}f(A_{i}).

Resposta

(a) f\bigl(\bigcup_{\lambda}A_{\lambda}\bigr)=\bigcup_{\lambda}f(A_{\lambda}).
(b) f\bigl(\bigcap_{\lambda}A_{\lambda}\bigr)\subseteq \bigcap_{\lambda}f(A_{\lambda}).
(c) Exemplo: f(x)=x^{2}, A_{1}=[-1,0], A_{2}=[0,1] \;f(\bigcap A_{i})=\{0\}\neq[0,1]=\bigcap f(A_{i}).

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