Seja
uma aplicação e seja
uma família de subconjuntos de
. Prove que:
(a)
;
(b)
(c) dê um exemplo onde
.
(a)
(b)
(c) dê um exemplo onde
Passo 1
O enunciado trata de uma aplicação
e de uma família de subconjuntos
de
. Queremos mostrar propriedades da imagem direta de união e de interseção, usando apenas definições de união, interseção e imagem de conjunto.
Passo 2
Provar que
Seja
. Então existe
tal que
. Por definição de união, esse
pertence a algum
. Logo
. Assim a inclusão está provada.
Passo 3
Provar a outra inclusão
Seja
. Então existe
tal que
. Logo existe
com
. Isso mostra
. Concluímos
Passo 4
Mostrar que
Seja
. Então existe
com
. Como esse
está em cada
, segue
para todo
. Portanto
pertence à interseção
, provando a inclusão.
Passo 5
Exemplo em que a igualdade falha. Considere
dada por
e os conjuntos
Temos
porém
Logo
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Exemplo: ,
,
dá
.
(b)
(c) Exemplo: