Seja f(x)=a sen x+b cos x+c tg x tal que f(0)=2, f^prime(pi)=0 e f^prime prime(pi / 6)=4. Calcule a, b e c.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=asen x + bcos x + ctan x
e dá as condições
f(0)=2, f'(pi)=0, f''l(tfracpi6r)=4
Para achar a,b,c vamos (i) usar f(0)=2, (ii) calcular f'(x) e usar f'(pi)=0, (iii) calcular f''(x) e usar f''(pi/6)=4.

Passo 2

Aplicando :
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Passo 3

Derivando f(x):
f'(x)=ddxl(asen x + bcos x + ctan xr) =acos x - bsen x + csec^2 x
Em x=pi temos
f'(pi)=acospi - bsenpi + csec^2pi =-a + c = 0
ou seja
c = a

Passo 4

Agora derivamos de novo:
f''(x)=ddxl(acos x - bsen x + csec^2 xr) =-asen x - bcos x + 2c,sec^2 x,tan x
Em x=pi/6 sabemos
sen(pi/6)=tfrac12, cos(pi/6)=tfracraiz32, tan(pi/6)=tfrac1raiz3, sec^2(pi/6)=tfrac43.
Substituindo:
f''l(tfracpi6r) =-a2 ;-;raiz32,b ;+;2ccdot43cdot1raiz3 =-a2 - raiz32b + 8c3raiz3
Como b=2 e c=a, isso vira
-a2 - raiz3 + 8a3raiz3 = 4

Passo 5

Resolvendo
-a2 - raiz3 + 8a3raiz3 = 4
para a, obtemos
a = 504 + 438raiz3229
Como c=a e b=2, concluímos os valores dos três coeficientes.

Resposta

a = dfrac504 + 438raiz3229, b = 2, c = dfrac504 + 438raiz3229

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