Seja f(x) = (x^2 - 5x + 4) / cos(5x). Determine f'(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e queremos descobrir a derivada dela em , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar a regra do quociente em derivadas, que nos ajuda a derivar uma função que é o quociente de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que formam o quociente:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de e .
A derivada de , que chamaremos de , é:

Passo 4

Para derivar , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e como temos , também multiplicamos pela derivada de , que é 5. Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente para encontrar . A regra do quociente diz que:
Substituindo , , e :

Passo 6

Agora, vamos calcular . Primeiro, substituímos nas funções:

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula da derivada:

Resposta

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