Seja 
  uma função. Considere a função 
  definida por 
  para todo 
 . Prove que 
  é sobrejetora.
Passo 1
Vamos lá! A questão nos pede para provar que a função 
 , definida por 
  para todo 
 , é sobrejetora. Aqui, estamos trabalhando com funções e suas propriedades, especificamente a sobrejetividade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser sobrejetora e como podemos demonstrar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função sobrejetora. Uma função 
  é chamada de sobrejetora se, para todo elemento 
  em 
 , existe pelo menos um elemento 
  em 
  tal que 
 . Ou seja, todo elemento do conjunto de chegada 
  é “atingido” por algum elemento de 
 .
Passo 3
No nosso caso, a função 
  vai de 
  para 
 . Por definição, 
  é o conjunto imagem de 
 , ou seja, todos os valores que 
  atinge quando aplicada a elementos de 
 . Então, para mostrar que 
  é sobrejetora, precisamos provar que para todo 
  em 
 , existe um 
  em 
  tal que 
 .
Passo 4
Vamos pegar um elemento qualquer 
  em 
 . Por definição de 
 , sabemos que existe pelo menos um 
  em 
  tal que 
 . Mas como 
 , isso significa que 
 .
Passo 5
Portanto, para todo 
  em 
 , encontramos um 
  em 
  que satisfaz 
 . Isso confirma que 
  atinge todos os elementos de 
 , o que, por definição, significa que 
  é uma função sobrejetora.
Resposta
Conseguimos mostrar que 
  é sobrejetora porque, para todo 
  em 
 , existe um 
  em 
  tal que 
 . Portanto, 
  é uma função sobrejetora.