O escoamento de um fluido incompressível e estacionário é regido pelo campo vetorial 
 . Verifique em cada caso se há fontes ou sumidouros em alguma região do espaço.
(b) 
 .
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o escoamento de um fluido incompressível e estacionário, descrito pelo campo vetorial 
 . Nosso objetivo aqui é descobrir se existem fontes ou sumidouros em alguma região do espaço para o campo vetorial dado: 
 . Para isso, vamos precisar usar o conceito de divergência do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são fontes e sumidouros. Em termos de fluxo de fluido, uma fonte é um ponto onde o fluido está sendo gerado (divergência positiva), e um sumidouro é onde o fluido está sendo absorvido (divergência negativa). A divergência de um campo vetorial nos ajuda a identificar esses pontos.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial 
 . A divergência de um campo vetorial 
  é dada por:
Para o nosso campo:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência é:
Passo 4
Com a divergência calculada, 
 , vamos analisar onde ela é positiva, negativa ou zero:
- Divergência positiva (
): Indica presença de fontes.  - Divergência negativa (
): Indica presença de sumidouros.  - Divergência zero (
): Não há fonte nem sumidouro.  
Passo 5
Portanto, para o campo vetorial dado:
- Existe uma fonte nas regiões onde 
.  - Existe um sumidouro nas regiões onde 
.  - Nas regiões onde 
, não há fonte nem sumidouro.  
Resposta
O campo vetorial 
  possui fontes nas regiões onde 
  e sumidouros onde 
  do espaço.