Seja
.
Mostre, usando a definição, que 1 é valor mínimo local (e absoluto) de
.
Mostre, usando a definição, que 1 é valor mínimo local (e absoluto) de
Passo 1
O enunciado:
. Vamos usar a definição de mínimo local: um ponto
é mínimo local se existe
tal que para todo
com
temos
. Mínimo absoluto ocorre quando
para todo
.
Passo 2
Observamos que
e
são não-negativos, sendo zero somente quando
e
. Portanto, o menor valor de
ocorre em
e é
.
Passo 3
Escrevemos a diferença
, a qual satisfaz
para todo
. Logo
, com igualdade apenas em
.
Passo 4
Para mostrar que
é mínimo local, seja
arbitrário. Se
, então
, o que implica
e, assim,
. Assim existe uma vizinhança em que
.
Passo 5
Como já mostramos que
para todo
,
é também ponto de mínimo absoluto de
, com valor mínimo igual a 1.