Seja f(x, y)=(x-4)^2+y^2+1.
Mostre, usando a definição, que 1 é valor mínimo local (e absoluto) de f.

Passo 1

O enunciado: f(x,y)=(x-4)^2+y^2+1. Vamos usar a definição de mínimo local: um ponto (x0,y0) é mínimo local se existe de0 tal que para todo (x,y) com 0<|(x,y)-(x0,y0)| temos f(x,y)>= f(x0,y0). Mínimo absoluto ocorre quando f(x,y)>= f(x0,y0) para todo (x,y).

Passo 2

Observamos que (x-4)^2 e y^2 são não-negativos, sendo zero somente quando x=4 e y=0. Portanto, o menor valor de f ocorre em (4,0) e é f(4,0)=1.

Passo 3

Escrevemos a diferença f(x,y)-f(4,0)=(x-4)^2+y^2, a qual satisfaz (x-4)^2+y^2>=0 para todo (x,y). Logo f(x,y)>=1, com igualdade apenas em (4,0).

Passo 4

Para mostrar que (4,0) é mínimo local, seja de0 arbitrário. Se 0<|(x,y)-(4,0)|, então (x,y)neq(4,0), o que implica (x-4)^2+y^2>0 e, assim, f(x,y)>1=f(4,0). Assim existe uma vizinhança em que f(x,y)>= f(4,0).

Passo 5

Como já mostramos que f(x,y)>=1 para todo (x,y), (4,0) é também ponto de mínimo absoluto de f, com valor mínimo igual a 1.

Resposta

1 é valor mínimo local e absoluto de f, atingido em (4,0).

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