Seja
. Calcule
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas parciais mistas
e
.
Informações relevantes: a função está explicitamente fornecida como expressão em e
. Não há outras condições fornecidas.
Informações relevantes: a função está explicitamente fornecida como expressão em
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Vou explicar de forma simples: a derivada parcial de
em relação a
, denotada
, mede como
varia quando só alteramos
e mantemos
fixo. Formalmente,
Analogamente,
é a derivada quando variamos só
e mantemos
fixo:
Para calcular na prática, tratamos a outra variável como constante e derivamos como em cálculo de uma variável só.
Passo 3
Calculemos
passo a passo:
- A função é
. - Ao derivar em relação a
, trate como constante. - Derivada de
em relação a : como é constante, a derivada é . - Derivada de
em relação a : é constante, então a derivada é (porque ).
Portanto
Passo 4
Agora obtemos
, isto é, derivar
em relação a
:
- Partimos de
. - Derivando em relação a
, tratando como constante: -
. -
(pois é constante em relação a e ).
Logo
-
Passo 5
Calculemos
para então obter
:
- A função é
. - Derivando em relação a
, com fixo: -
. -
(como antes).
Assim
-
Passo 6
Agora derivamos
em relação a
para obter
:
- Partimos de
. - Derivando em relação a
, com fixo: -
(pois é constante). -
.
Portanto
-
Passo 7
Observação final e interpretação: obtivemos
Ou seja, as duas derivadas mistas coincidem. Isso era de se esperar: a função é construída com funções elementares (
,
,
) que são
, então as segundas derivadas parciais são contínuas e a igualdade
vale (Teorema de Clairaut), mas aqui mostramos a igualdade explicitamente por conta.