Seja f(x, y)=x \cos y-y e^{x}. Calcule f_{y x} e f_{x y}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x\cos y - y e^{x} e pede para calcular as derivadas parciais mistas \displaystyle f_{y x} e \displaystyle f_{x y}.
Informações relevantes: a função está explicitamente fornecida como expressão em x e y. Não há outras condições fornecidas.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Vou explicar de forma simples: a derivada parcial de f em relação a x, denotada \displaystyle f_x(x,y), mede como f varia quando só alteramos x e mantemos y fixo. Formalmente,
f_x(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Analogamente, \displaystyle f_y(x,y) é a derivada quando variamos só y e mantemos x fixo:
f_y(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Para calcular na prática, tratamos a outra variável como constante e derivamos como em cálculo de uma variável só.

Passo 3

Calculemos \displaystyle f_x(x,y) passo a passo:
  • A função é f(x,y)=x\cos y - y e^{x}.
  • Ao derivar em relação a x, trate y como constante.
  • Derivada de x\cos y em relação a x: como \cos y é constante, a derivada é \cos y.
  • Derivada de -y e^{x} em relação a x: y é constante, então a derivada é -y\cdot e^{x} (porque \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}).
    Portanto
f_x(x,y)=\cos y - y e^{x}.

Passo 4

Agora obtemos \displaystyle f_{xy}(x,y), isto é, derivar \displaystyle f_x em relação a y:
  • Partimos de \displaystyle f_x(x,y)=\cos y - y e^{x}.
  • Derivando em relação a y, tratando x como constante:
    • \frac{\partial}{\partial y}(\cos y) = -\sin y.
    • \frac{\partial}{\partial y}(-y e^{x}) = -e^{x} (pois e^{x} é constante em relação a y e \frac{d}{dy}y=1).
      Logo
f_{xy}(x,y) = -\sin y - e^{x}.

Passo 5

Calculemos \displaystyle f_y(x,y) para então obter \displaystyle f_{yx}:
  • A função é f(x,y)=x\cos y - y e^{x}.
  • Derivando em relação a y, com x fixo:
    • \frac{\partial}{\partial y}(x\cos y) = x\cdot(-\sin y) = -x\sin y.
    • \frac{\partial}{\partial y}(-y e^{x}) = -e^{x} (como antes).
      Assim
f_y(x,y) = -x\sin y - e^{x}.

Passo 6

Agora derivamos \displaystyle f_y em relação a x para obter \displaystyle f_{yx}:
  • Partimos de \displaystyle f_y(x,y) = -x\sin y - e^{x}.
  • Derivando em relação a x, com y fixo:
    • \frac{\partial}{\partial x}(-x\sin y) = -\sin y (pois \sin y é constante).
    • \frac{\partial}{\partial x}(-e^{x}) = -e^{x}.
      Portanto
f_{yx}(x,y) = -\sin y - e^{x}.

Passo 7

Observação final e interpretação: obtivemos
f_{xy}(x,y)= -\sin y - e^{x} \qquad\text{e}\qquad f_{yx}(x,y)= -\sin y - e^{x}.
Ou seja, as duas derivadas mistas coincidem. Isso era de se esperar: a função é construída com funções elementares ( \cos, \sin, e^{x}) que são C^\infty, então as segundas derivadas parciais são contínuas e a igualdade \,f_{xy}=f_{yx}\, vale (Teorema de Clairaut), mas aqui mostramos a igualdade explicitamente por conta.

Resposta

f_{y x}(x,y) = -\sin y - e^{x}
f_{x y}(x,y) = -\sin y - e^{x}

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