Considere
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
Mostre que f_{x y}(0,0) \neq f_{y x}(0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
A pergunta é: mostrar que \,f_{x y}(0,0)\neq f_{y x}(0,0).
Informações relevantes: a função está definida por pedaços e estamos interessados nas derivadas parciais de segunda ordem mistas no ponto (0,0).]

Passo 2

Aqui vai uma revisão rápida e prática do que vamos usar (sem assumir que você já sabe tudo):
  • Definição de derivada parcial em um ponto. Para a derivada parcial de f em relação a x no ponto (a,b) usamos
f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},
se o limite existir. Analogo para f_y(a,b):
f_y(a,b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}.
  • Derivadas parciais mistas. Por definição,
f_{xy}(a,b)=\frac{\partial}{\partial y}\big(f_x\big)(a,b) =\lim_{k\to0}\frac{f_x(a,b+k)-f_x(a,b)}{k},
e
f_{yx}(a,b)=\frac{\partial}{\partial x}\big(f_y\big)(a,b) =\lim_{h\to0}\frac{f_y(a+h,b)-f_y(a,b)}{h}.
  • Observação importante (Clairaut): normalmente se as segundas derivadas parciais forem contínuas numa vizinhança do ponto então f_{xy}=f_{yx}. Aqui vamos ver que essa hipótese de continuidade falha, então os mistos podem ser diferentes.
Agora vamos calcular passo a passo.

Passo 3

Calcular f_x(0,0) pela definição. Para isso note que, ao fixar y=0,
f(h,0)=\frac{h\cdot 0^{3}}{h^{2}+0^{2}}=0\quad\text{para }h\neq0,
e f(0,0)=0. Assim
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Portanto \,f_x(0,0)=0.

Passo 4

Calcular f_y(0,0) pela definição. Ao fixar x=0,
f(0,k)=\frac{0\cdot k^{3}}{0+k^{2}}=0\quad\text{para }k\neq0,
e f(0,0)=0. Então
f_y(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{0-0}{k}=0.
Portanto \,f_y(0,0)=0.

Passo 5

Para calcular f_{xy}(0,0) precisamos de f_x(0,k) para k próximo de 0. Use a definição de f_x em um ponto (0,k) com k\neq0:
f_x(0,k)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,k)-f(0,k)}{h}.
Como vimos f(0,k)=0 para k\neq0, obtemos
\frac{f(h,k)-f(0,k)}{h}=\frac{1}{h}\cdot\frac{h k^{3}}{h^{2}+k^{2}} =\frac{k^{3}}{h^{2}+k^{2}}.
Agora fazemos o limite h\to0 mantendo k fixo (não nulo):
f_x(0,k)=\lim_{h\to0}\frac{k^{3}}{h^{2}+k^{2}}=\frac{k^{3}}{k^{2}}=k.
Logo, para k\neq0 temos \,f_x(0,k)=k. Isso é uma informação chave: ao longo do eixo x=0 (exceto na origem) a derivada parcial em x vale k.

Passo 6

Agora calcule f_{xy}(0,0) usando a definição de derivada de f_x em relação a y:
f_{xy}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f_x(0,k)-f_x(0,0)}{k}.
Substituindo f_x(0,k)=k (para k\neq0) e f_x(0,0)=0, obtemos
f_{xy}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{k-0}{k}=\lim_{k\to0}1=1.
Portanto \,f_{xy}(0,0)=1.

Passo 7

Agora vamos calcular f_{yx}(0,0). Precisamos primeiro de f_y(h,0) para h próximo de 0. Use a definição de f_y em (h,0) com h\neq0:
f_y(h,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(h,k)-f(h,0)}{k}.
Como f(h,0)=0, temos
\frac{f(h,k)-f(h,0)}{k}=\frac{1}{k}\cdot\frac{h k^{3}}{h^{2}+k^{2}} =\frac{h k^{2}}{h^{2}+k^{2}}.
Agora fazemos o limite k\to0 com h fixo e diferente de zero. O numerador tem fator k^{2}, então
f_y(h,0)=\lim_{k\to0}\frac{h k^{2}}{h^{2}+k^{2}}=0.
Assim, para todo h\neq0 pequeno, \,f_y(h,0)=0.

Passo 8

Finalmente calcule f_{yx}(0,0) por
f_{yx}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}{h}.
Substituindo f_y(h,0)=0 (para h\neq0) e f_y(0,0)=0, obtemos
f_{yx}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Portanto \,f_{yx}(0,0)=0.

Passo 9

Conclusão: encontramos
f_{xy}(0,0)=1\quad\text{e}\quad f_{yx}(0,0)=0,
portanto \,f_{xy}(0,0)\neq f_{yx}(0,0). Isso acontece porque as segundas derivadas parciais não são contínuas numa vizinhança de (0,0), então a hipótese do teorema de Clairaut não se aplica.

Resposta

\,f_{xy}(0,0)=1
\,f_{yx}(0,0)=0

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