A pergunta é: mostrar que \,f_{x y}(0,0)\neq f_{y x}(0,0).
Informações relevantes: a função está definida por pedaços e estamos interessados nas derivadas parciais de segunda ordem mistas no ponto (0,0).]
Passo 2
Aqui vai uma revisão rápida e prática do que vamos usar (sem assumir que você já sabe tudo):
Definição de derivada parcial em um ponto. Para a derivada parcial de f em relação a x no ponto (a,b) usamos
Observação importante (Clairaut): normalmente se as segundas derivadas parciais forem contínuas numa vizinhança do ponto então f_{xy}=f_{yx}. Aqui vamos ver que essa hipótese de continuidade falha, então os mistos podem ser diferentes.
Agora vamos calcular passo a passo.
Passo 3
Calcular f_x(0,0) pela definição. Para isso note que, ao fixar y=0,
Substituindo f_y(h,0)=0 (para h\neq0) e f_y(0,0)=0, obtemos
f_{yx}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Portanto \,f_{yx}(0,0)=0.
Passo 9
Conclusão: encontramos
f_{xy}(0,0)=1\quad\text{e}\quad f_{yx}(0,0)=0,
portanto \,f_{xy}(0,0)\neq f_{yx}(0,0). Isso acontece porque as segundas derivadas parciais não são contínuas numa vizinhança de (0,0), então a hipótese do teorema de Clairaut não se aplica.