Seja 
  definida sobre o arco de parábola 
  parametrizada como 
 . Calcular 
 .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem a função 
  definida sobre uma curva 
 , que é o arco de uma parábola parametrizada por 
  para 
 . A parada é calcular a integral de linha 
 . Para isso, vamos precisar entender o que é integral de linha, como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha do tipo 
  envolve integrar a função ao longo da curva, considerando o comprimento do arco. Como a curva 
  está parametrizada por 
 , vamos usar essa parametrização para expressar tudo em termos de 
 .
Passo 3
Agora, vamos calcular o diferencial de arco 
 . Se temos uma parametrização 
 , o diferencial de arco é dado por:
Isso porque 
 .
Passo 4
Com tudo isso, podemos montar a integral:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja 
 , então 
  ou 
 . A integral fica:
Agora, aplicando os limites de 
  a 
 :