Sejam F(x, y, z) = x * y * z * i + j + (x^3 - y * z) * k e o caminho parametrizado por r(t) = (t, t^2, t), 0 <= t <= 1. Calcule a integral de linha de F sobre o dado caminho.

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de um caminho definido pela parametrização , onde t varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e como parametrizar o caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a parametrização vec(r)(t) na função do campo vetorial F. Isso nos dá :
Sabendo que , temos , e . Substituindo:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de vec(r)(t) em relação a t, que é :

Passo 4

A integral de linha é definida como:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão de a :

Resposta

A integral de linha de F sobre o caminho dado é 6/5.

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