Seja f(x, y)=x^{2}-y.
(a) Esboce a curva de nível de f que passa pelo ponto P=(1,2).
(b) Encontre o vetor unitário \vec{u}=\left\langle u_{1}, u_{2}\right\rangle na direção do qual a função f cresce mais rapidamente no ponto P. Esboce esse vetor, com extremidade inicial em P, no mesmo desenho do item (a).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=x^{2}-y
e pede duas coisas no ponto P=(1,2):
  1. o esboço da curva de nível de f que passa por P, isto é, o conjunto de pontos onde f(x,y)=f(1,2);
  2. o vetor unitário na direção em que f cresce mais rápido em P.
    Para resolver precisamos usar os conceitos de curva de nível e gradiente.

Passo 2

Primeiro calculamos o valor de f em P:
f(1,2)=1^{2}-2=-1.
A curva de nível associada é o conjunto
\{(x,y)\mid f(x,y)=-1\},
ou seja
x^{2}-y=-1.
Isolando y, obtemos
y = x^{2}+1.
Esse é o gráfico de uma parábola com vértice em (0,1) e que passa por (1,2).

Passo 3

Para achar a direção de máximo crescimento usamos o gradiente de f:
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) =(2x,\,-1).
Em P=(1,2) temos
\nabla f(1,2)=(2\cdot1,\,-1)=(2,-1).
O vetor unitário nessa direção é
\vec{u}=\frac{\nabla f(1,2)}{\|\nabla f(1,2)\|} =\frac{(2,-1)}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}} =\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},-\tfrac{1}{\sqrt5}\Bigr).
Esse vetor é ortogonal à curva de nível y=x^{2}+1 e aponta no sentido de aumento de f. No esboço, trace a parábola y=x^{2}+1 e desenhe em P uma seta de comprimento unitário em direção ao vetor \bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},-\tfrac{1}{\sqrt5}\bigr).

Resposta

(a) A curva de nível é
y = x^{2}+1.
(b) O vetor unitário de máximo crescimento em P é
\vec{u}=\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},-\tfrac{1}{\sqrt5}\Bigr).

Exercícios relacionados