Seja
.
(a) Esboce a curva de nível de
que passa pelo ponto
.
(b) Encontre o vetor unitário
na direção do qual a função
cresce mais rapidamente no ponto
. Esboce esse vetor, com extremidade inicial em
, no mesmo desenho do item (a).
(a) Esboce a curva de nível de
(b) Encontre o vetor unitário
Passo 1
O enunciado define a função
e pede duas coisas no ponto
:
- o esboço da curva de nível de
que passa por , isto é, o conjunto de pontos onde ; - o vetor unitário na direção em que
cresce mais rápido em .
Para resolver precisamos usar os conceitos de curva de nível e gradiente.
Passo 2
Primeiro calculamos o valor de
em
:
A curva de nível associada é o conjunto
ou seja
Isolando
, obtemos
Esse é o gráfico de uma parábola com vértice em
e que passa por
.
Passo 3
Para achar a direção de máximo crescimento usamos o gradiente de
:
Em
temos
O vetor unitário nessa direção é
Esse vetor é ortogonal à curva de nível
e aponta no sentido de aumento de
. No esboço, trace a parábola
e desenhe em
uma seta de comprimento unitário em direção ao vetor
.
Resposta
(a) A curva de nível é
(b) O vetor unitário de máximo crescimento em
é