Considere a função
.
(a) Verifique se a função
satisfaz a equação de Laplace
(b) Encontre a taxa de variação de
na origem na direção e sentido do vetor
.
(a) Verifique se a função
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
- Verificar se
satisfaz a equação de Laplace
- Encontrar a taxa de variação de
na origem na direção e sentido do vetor .
Para isso vamos usar cálculo de derivadas parciais de segunda ordem (para Laplace) e derivada direcional via gradiente (para taxa de variação).
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de segunda ordem de
:
Primeiro,
Primeiro,
Em seguida,
Somando, obtemos
Logo,
satisfaz a equação de Laplace.
Passo 3
Para a derivada direcional em
na direção de
fazemos:
- Gradiente de
:
Em
vale
- Vetor unidade na direção de
:
- Derivada direcional:
Resposta
(a) Sim,
.
(b) A taxa de variação é .
(b) A taxa de variação é