b) \int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^{5}} d x\) c) \(\int_{-x}^{-1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x\) d) \(\int_{-\infty}^{0} x e^{-x^{2}} d x\) e) \(\quad \int_{-x}^{+x} f(x) d x\) onde \(f(x)= \begin{cases}1 & \text { se }|x| \leqslant 1 \\\\ 0 & \text { se }|x|>1\end{cases}
f) \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|} d x
g) \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{4+x^{2}} d x
  1. \int_{-x}^{+x} f(x) d x onde f(x)=\left\{\begin{array}{lr}1 & \text { se }|x| \leqslant 1 \\\ \frac{1}{x^{2}} & \text { se }|x|>1\end{array}\right.
  1. Determine m para que \int_{-x}^{+x} f(x) d x=1, sendo
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} m & \text { se }|x| \leqslant 3 \\\\ 0 & \text { se }|x|>3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede cálculo de várias integrais impróprias e dependentes de parâmetro. O conteúdo envolve regra da potência, mudança de variável, simetria de funções ímpares e pares, além de integrais definidas por partes e determinação de constantes de normalização de densidade. Vamos resolver cada item isoladamente.

Passo 2

Item b: \displaystyle \int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^{5}}\,dx. Usamos a regra da potência para x^{n}, n\neq -1. Uma primitiva de x^{-5} é
F(x) = \frac{x^{-4}}{-4} = -\frac{1}{4x^{4}}.
Logo
\int_{-\infty}^{-1}\frac{1}{x^{5}}\,dx = \lim_{A\to -\infty}\bigl[F(-1)-F(A)\bigr] = \Bigl(-\tfrac{1}{4(-1)^4}\Bigr)-0 = -\tfrac{1}{4}.

Passo 3

Item c: \displaystyle \int_{-x}^{-1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx. Tratamos x>0 para que -x<-1. A primitiva de x^{-1/3} é
G(x)=\frac{x^{2/3}}{2/3}=\frac{3}{2}x^{2/3}.
Avaliaremos de -x a -1. Como \sqrt[3]{-1}=-1 e \sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}, então
\int_{-x}^{-1}x^{-1/3}\,dx =G(-1)-G(-x) =\frac{3}{2}\bigl[(-1)^{2/3}-(-x)^{2/3}\bigr] =\frac{3}{2}\bigl[1 - x^{2/3}\bigr].

Passo 4

Item d: \displaystyle \int_{-\infty}^{0}x\,e^{-x^{2}}\,dx. Faça u=x^{2}, du=2x\,dx, logo x\,dx=du/2. Os limites vão de u=+\infty a u=0. Assim
\int_{-\infty}^{0}x\,e^{-x^{2}}\,dx =\int_{\infty}^{0}e^{-u}\,\frac{du}{2} =-\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-u}du =-\frac{1}{2}.

Passo 5

Item e: \displaystyle \int_{-x}^{x}f(t)\,dt\) com \[f(t)= \begin{cases} 1,&|t|\le1,\\\\ 0,&|t|>1. \end{cases}
  • Se x\le1\], todo \([-x,x]\subset[-1,1], então \int_{-x}^{x}f=2x.
  • Se x>1, só [-1,1] contribui, logo \int_{-x}^{x}f=2.

Passo 6

Item f: \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}dx. A função é par, logo
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}dx =2\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx =2\bigl[1\bigr] =2.

Passo 7

Item g: \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{4+x^{2}}dx. Também é par. Usamos \int\frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan(x/a):
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{4+x^{2}} =2\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{4+x^{2}} =2\Bigl[\tfrac{1}{2}\arctan\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr]_{0}^{\infty} =\pi/2.

Passo 8

Item 1: \displaystyle \int_{-x}^{x}f(t)\,dt\) com \[f(t)= \begin{cases} 1,&|t|\le1,\\\ \tfrac{1}{t^{2}},&|t|>1. \end{cases}
  • Se x\le1\], \(\int_{-x}^{x}f=2x.
  • Se x>1, dividimos em [-x,-1], [-1,1] e [1,x]. As partes de 1/t^{2} são iguais por simetria:
2\int_{1}^{x}t^{-2}dt =2\bigl[-\tfrac{1}{t}\bigr]_{1}^{x} =2\bigl(1-\tfrac{1}{x}\bigr).
Somando a parte central 2, obtemos 4 - 2/x.

Passo 9

Item 4: determinar m\) para que \(\displaystyle \int_{-x}^{x}f(t)\,dt=1\) com \[f(t)= \begin{cases} m,&|t|\le3,\\\\ 0,&|t|>3. \end{cases}
Assumindo (x\ge3] (cobrindo todo o suporte),
\int_{-3}^{3}m\,dt =6m \overset!=1 \quad\Longrightarrow\quad m=\tfrac{1}{6}.

Resposta

b) -\tfrac{1}{4}\) c) \(\tfrac{3}{2}\bigl(1 - x^{2/3}\bigr)\) d) \(-\tfrac{1}{2}\) e) \(\displaystyle \begin{cases}2x,&x\le1,\\\ 2,&x>1\end{cases}
f) 2\) g) \(\tfrac{\pi}{2}\) 1) \(\displaystyle \begin{cases}2x,&x\le1,\\\ 4 - \tfrac{2}{x},&x>1\end{cases}
  1. m = \tfrac{1}{6}

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