1. Seja f(z) uma função inteira. Mostre que g(z):=\overline{f(\bar{z})} é uma função inteira e determine g^{\prime}(z) em função de f(z).

Passo 1

O enunciado diz que f é inteira, ou seja, holomorfa em todo \mathbb{C}. Pelo teorema de existência de série de potências, existe uma sequência \{a_n\}_{n\ge0}\subset\mathbb{C} tal que, para todo z\in\mathbb{C},
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n,
com raio de convergência infinito. Definimos então
g(z):=\overline{f(\bar z)}.
Precisamos mostrar que g também é inteira e encontrar g'(z) em função de f.

Passo 2

Substituindo \bar z na expansão de f, obtemos
f(\bar z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(\bar z)^n.
Como a série de f converge uniformemente em todo disco de raio finito, podemos conjugá-la termo a termo:
\overline{f(\bar z)} =\overline{\sum_{n=0}^{\infty}a_n(\bar z)^n} =\sum_{n=0}^{\infty}\overline{a_n}\,\overline{(\bar z)^n} =\sum_{n=0}^{\infty}\overline{a_n}\,z^n.

Passo 3

A expressão
g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\overline{a_n}\,z^n
é uma série de potências com raio de convergência infinito (os coeficientes \overline{a_n} têm crescimento igual ao de a_n). Logo g é inteira.

Passo 4

Para obter a derivada, derivamos termo a termo:
g'(z) =\sum_{n=1}^{\infty}n\,\overline{a_n}\,z^{n-1}.
Por outro lado, lembrando que
f'(w)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n\,w^{n-1},
temos, ao avaliar em w=\bar z e aplicar conjugação,
\overline{f'(\bar z)} =\overline{\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n\,(\bar z)^{n-1}} =\sum_{n=1}^{\infty}n\,\overline{a_n}\,z^{n-1} =g'(z).

Resposta

g é inteira e
g'(z)=\overline{f'(\bar z)}.

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