Seja f(z) uma função inteira. Mostre que g(z):=\overline{f(\bar{z})} é uma função inteira e determine g^{\prime}(z) em função de f(z).
Passo 1
O enunciado diz que f é inteira, ou seja, holomorfa em todo \mathbb{C}. Pelo teorema de existência de série de potências, existe uma sequência \{a_n\}_{n\ge0}\subset\mathbb{C} tal que, para todo z\in\mathbb{C},
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n,
com raio de convergência infinito. Definimos então
g(z):=\overline{f(\bar z)}.
Precisamos mostrar que g também é inteira e encontrar g'(z) em função de f.
Passo 2
Substituindo \bar z na expansão de f, obtemos
f(\bar z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(\bar z)^n.
Como a série de f converge uniformemente em todo disco de raio finito, podemos conjugá-la termo a termo: