Verifique se as condições de Cauchy-Riemann são cumpridas:
f(z)=e^{y}(\cos x+i \sin x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(z)=e^{y}(\cos x + i\sin x),
com z=x+iy, satisfaz as condições de Cauchy–Riemann. Precisamos identificar as partes real e imaginária, u(x,y) e v(x,y), e depois calcular suas derivadas parciais para testar
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.

Passo 2

Separamos
u(x,y)=e^{y}\cos x,
v(x,y)=e^{y}\sin x.
Calculamos as derivadas parciais:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y}\cos x\bigr) = -\,e^{y}\sin x,
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}\cos x\bigr) = e^{y}\cos x,
v_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y}\sin x\bigr) = e^{y}\cos x,
v_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}\sin x\bigr) = e^{y}\sin x.

Passo 3

As equações de Cauchy–Riemann exigem
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.
Substituindo:
u_x = -\,e^{y}\sin x, \quad v_y = e^{y}\sin x,
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u_x = v_y \;\Longrightarrow\; -\,e^{y}\sin x = e^{y}\sin x \;\Longrightarrow\; \sin x = 0
e
u_y = e^{y}\cos x, \quad -\,v_x = -\,e^{y}\cos x,
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u_y = -\,v_x \;\Longrightarrow\; e^{y}\cos x = -\,e^{y}\cos x \;\Longrightarrow\; \cos x = 0.
Não há x que faça simultaneamente \sin x=0 e \cos x=0. Portanto as duas condições não se satisfazem em nenhum ponto.

Resposta

A função não satisfaz as condições de Cauchy–Riemann em nenhum ponto, logo não é diferenciável no sentido complexo.

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