Seja 
  definida por
 
Mostre que 
  um homomorfismo, mas não é um isomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a função 
 , definida por
é um homomorfismo, mas não é um isomorfismo. Aqui, estamos lidando com álgebra linear e teoria de grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são homomorfismos e isomorfismos entre grupos ou estruturas algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que 
  é um homomorfismo. Isso significa que 
  preserva a operação do grupo, que nesse caso é a adição. Em outras palavras, precisamos verificar se
para quaisquer 
 .
Passo 3
Vamos calcular 
 :
Agora, vamos calcular 
 :
Como vemos, 
 , então 
  preserva a operação de adição.
Passo 4
Como 
  preserva a operação de adição, então 
  é um homomorfismo de grupos. Isso comprova a primeira parte do que precisamos mostrar.
Passo 5
Agora, vamos verificar se 
  é um isomorfismo. Para isso, 
  precisa ser um homomorfismo bijetivo, ou seja, ser injetora (sem elementos diferentes mapeando para o mesmo lugar) e sobrejetora (toda matriz em 
  é imagem de algum inteiro).
Passo 6
Primeiro, vamos ver se 
  é injetora. Suponha que 
 :
Isso implica que 
 . Portanto, 
  é injetora.
Passo 7
Agora, vamos ver se 
  é sobrejetora. Ou seja, será que toda matriz 
  em 
  pode ser escrita como 
  para algum 
 ?
Passo 8
Observando a definição de 
 , vemos que apenas matrizes diagonais com elementos iguais nas posições 
  e 
  são imagens de 
 . Matrizes com elementos diferentes ou com elementos fora da diagonal não podem ser obtidas por 
 . Portanto, 
  não é sobrejetora.
Passo 9
Como 
  não é sobrejetora, ela não é bijetora. Logo, 
  não é um isomorfismo.
Resposta
Concluímos que 
  é um homomorfismo, pois preserva a operação de adição, mas não é um isomorfismo, já que não é sobrejetora.