Seja
Mostre que
para
ao longo de qualquer reta passando pela origem, mas que
não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar o limite de uma função complexa
quando
se aproxima de 0. A função é definida de forma diferente para
e para
. Precisamos mostrar duas coisas:
- Que
tende a 0 ao se aproximar de 0 por qualquer reta que passa pela origem. - Que o limite geral
não existe.
Vamos usar conhecimentos de limites de funções de variáveis complexas e analisar diferentes caminhos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é definida assim:
Aqui,
, onde
e
são as partes real e imaginária de
, respectivamente.
Passo 3
Queremos calcular
. Como
, isso simplifica para
:
Passo 4
Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por
(o conjugado de
) para eliminar o número imaginário do denominador:
Passo 5
Agora, vamos escolher uma reta que passa pela origem para analisar o limite. Uma reta pode ser representada por
, onde
é a inclinação da reta.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Observando os termos de
, podemos fatorar
do denominador e numerador:
Quando
tende a 0, o denominador
tende a
, então:
Simplificando mais, percebemos que os termos com
cancelam e o limite tende a 0.
Passo 8
Agora, precisamos mostrar que esse comportamento não se mantém para todos os caminhos, ou seja, o limite geral não existe. Para isso, vamos escolher dois caminhos diferentes que dão resultados distintos.
Passo 9
Primeiro, vamos considerar o caminho ao longo do eixo real, ou seja,
:
Então, o limite é 0.
Agora, vamos escolher um caminho diferente, por exemplo,
:
Simplificando:
Quando
, isso tende a
, que não é 0.
Passo 10
Como obtivemos resultados diferentes (0 e
) ao escolher caminhos diferentes para
se aproximando de 0, isso significa que o limite geral não existe, já que o valor depende do caminho seguido.
Resposta
Portanto, mostramos que
tende a 0 ao longo de qualquer reta passando pela origem, mas o limite geral
não existe.