Seja
. Se
é uma base de
e
é uma base de
, prove que
é uma base de
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o espaço vetorial
que é a soma direta de dois subespaços
e
. Também sabemos que
é uma base de
e
é uma base de
. Nosso objetivo é provar que a união dessas duas bases,
, forma uma base de
. Para isso, vamos precisar dos conceitos de base de um espaço vetorial, soma direta de subespaços, e as propriedades de linearidade e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
. Isso quer dizer que todo vetor em
pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Ou seja,
e
.
Passo 3
Como
é uma base de
, todo vetor em
pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
, e os vetores de
são linearmente independentes. O mesmo vale para
em
.
Passo 4
Vamos agora considerar a união
. Precisamos mostrar que esse conjunto gera
e que é linearmente independente.
Passo 5
Primeiro, vamos verificar se
gera
. Como qualquer vetor em
pode ser escrito como
, com
e
, então
pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
e
como combinação linear dos vetores de
. Assim,
pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
.
Passo 6
Agora, vamos verificar a independência linear de
. Suponha que uma combinação linear dos vetores de
resulte no vetor zero:
Como
, a decomposição é única, então temos que
e
.
Passo 7
Como os vetores de
são linearmente independentes em
, segue que todas as
. Analogamente, os vetores de
são linearmente independentes em
, então todas as
.
Resposta
Portanto,
é uma base de
.