Seja E=F1 oplus F2. Se B1 é uma base de F1 e B2 é uma base de F2, prove que B1 cup B2 é uma base de E.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o espaço vetorial que é a soma direta de dois subespaços e . Também sabemos que é uma base de e é uma base de . Nosso objetivo é provar que a união dessas duas bases, , forma uma base de . Para isso, vamos precisar dos conceitos de base de um espaço vetorial, soma direta de subespaços, e as propriedades de linearidade e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que . Isso quer dizer que todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Ou seja, e .

Passo 3

Como é uma base de , todo vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores de , e os vetores de são linearmente independentes. O mesmo vale para em .

Passo 4

Vamos agora considerar a união . Precisamos mostrar que esse conjunto gera e que é linearmente independente.

Passo 5

Primeiro, vamos verificar se gera . Como qualquer vetor em pode ser escrito como , com e , então pode ser escrito como combinação linear dos vetores de e como combinação linear dos vetores de . Assim, pode ser escrito como combinação linear dos vetores de .

Passo 6

Agora, vamos verificar a independência linear de sumb in B1 alphab b + sumb in B2 betab b = 0 . Suponha que uma combinação linear dos vetores de resulte no vetor zero:
Como , a decomposição é única, então temos que e .

Passo 7

Como os vetores de são linearmente independentes em , segue que todas as . Analogamente, os vetores de são linearmente independentes em , então todas as .

Resposta

Portanto, é uma base de .

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