Seja
.
(a) A função
é crescente ou decrescente? Por quê?
(b) Verifique se
é inversível e, caso seja, calcule sua inversa.
(c) Qual o domínio de
?
(d) Esboce os gráficos de
e de
em um mesmo sistema cartesiano, e explique explique a relação entre os gráficos.
(a) A função
(b) Verifique se
(c) Qual o domínio de
(d) Esboce os gráficos de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede: (a) verificar se é crescente ou decrescente; (b) mostrar se é inversível e achar
; (c) determinar o domínio de
; (d) esboçar os gráficos de
e de
e explicar sua relação.
Passo 2
Para ver monotonicidade, calculamos a derivada.
Como
e
para todo
, temos
. Logo,
é estritamente crescente.
Passo 3
Por ser estritamente crescente,
é injetora e contínua, logo inversível. Para achar
, escrevemos
e isolamos
. Invertendo,
Portanto,
Passo 4
O domínio de
é a imagem de
. Como
e
, e
varia continuamente entre esses valores, a imagem é
. Logo
Passo 5
O gráfico de
é a clássica curva logística: uma “S” suave passando por
, com assíntotas horizontais
e
. O gráfico de
é obtido refletindo o de
na reta
: fica uma curva que passa por
, cruza
e tem assíntotas verticais em
e
. Essa reflexão mostra que para toda reta
, cada ponto
de
corresponde a
em
.
Resposta
(a)
é estritamente crescente, pois
.
(b) Sim, é inversível;
(b) Sim, é inversível;
(c)
(d) O gráfico de é a curva logística com assíntotas
e
; o de
é sua reflexão na reta
, trocando cada ponto
por
.
(d) O gráfico de