Seja f(x)=11+e^-x.
(a) A função f é crescente ou decrescente? Por quê?
(b) Verifique se f é inversível e, caso seja, calcule sua inversa.
(c) Qual o domínio de f^-1 ?
(d) Esboce os gráficos de f e de f^-1 em um mesmo sistema cartesiano, e explique explique a relação entre os gráficos.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=11+e^-x
e pede: (a) verificar se é crescente ou decrescente; (b) mostrar se é inversível e achar f^-1; (c) determinar o domínio de f^-1; (d) esboçar os gráficos de f e de f^-1 e explicar sua relação.

Passo 2

Para ver monotonicidade, calculamos a derivada.
f'(x)=ddxl(1+e^-xr)^-1 =-1l(1+e^-xr)^-2cdot(-e^-x) =e^-xl(1+e^-xr)^2
Como e^-x>0 e l(1+e^-xr)^2>0 para todo x, temos f'(x)>0. Logo, f é estritamente crescente.

Passo 3

Por ser estritamente crescente, f é injetora e contínua, logo inversível. Para achar f^-1, escrevemos
y=11+e^-x
e isolamos x. Invertendo,
1+e^-x=1y Rightarrow e^-x=1y-1=1-yy Rightarrow -x=ln!l(tfrac1-yyr) Rightarrow x=ln!l(tfracy1-yr)
Portanto,
f^-1(y)=ln!l(y1-yr)

Passo 4

O domínio de f^-1 é a imagem de f. Como limxto-inftyf(x)=0 e limxto+inftyf(x)=1, e f varia continuamente entre esses valores, a imagem é (0,1). Logo
Dom(f^-1)=(0,1)

Passo 5

O gráfico de f é a clássica curva logística: uma “S” suave passando por (0,0,5), com assíntotas horizontais y=0 e y=1. O gráfico de f^-1 é obtido refletindo o de f na reta y=x: fica uma curva que passa por (0,0), cruza (0,5,0,5) e tem assíntotas verticais em x=0 e x=1. Essa reflexão mostra que para toda reta y=x, cada ponto (a,b) de f corresponde a (b,a) em f^-1.

Resposta

(a) f é estritamente crescente, pois f'(x)=dfrace^-x(1+e^-x)^2>0.
(b) Sim, é inversível;
f^-1(y)=ln!l(tfracy1-yr)
(c) Dom(f^-1)=(0,1)
(d) O gráfico de f é a curva logística com assíntotas y=0 e y=1; o de f^-1 é sua reflexão na reta y=x, trocando cada ponto (a,b) por (b,a).

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