Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
;
Passo 1
Então, o enunciado pede pra gente determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências 7.2 ∑ₙ₌₀^∞ (1/(n+1))·(x+2)ⁿ. O conteúdo é séries de potências centradas em x₀=–2 e vamos usar o Teste da Razão pra achar o raio.
Passo 2
O Teste da Razão diz que para uma série de potências ∑aₙ·(x–x₀)ⁿ a gente calcula L=limₙ→∞ |aₙ₊₁/aₙ|·|x–x₀| e exige L<1 pra convergir. O raio R vem de |x–x₀|<R, onde R=1/limₙ→∞|aₙ₊₁/aₙ|.
Passo 3
No nosso caso, os coeficientes são aₙ=7.2/(n+1). Então
Passo 4
Passo 5
Como
, o critério vira |x+2|<1. Logo, o raio de convergência é R=1.
Passo 6
Pra achar o intervalo, testamos as bordas:
Passo 7
Em x=–1 (ou seja x+2=1) a série fica 7.2 ∑ₙ₌₀^∞ 1/(n+1), que é a série harmônica deslocada e diverge.
Passo 8
Em x=–3 (ou seja x+2=–1) a série vira 7.2 ∑ₙ₌₀^∞ (–1)ⁿ/(n+1), que é uma série alternada decrescente em módulo e converge pelo teste de Leibniz.
Resposta
O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é [–3, –1).