Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
7.2 sumn=0^infty 1n+1(x+2)^n;

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências 7.2 ∑ₙ₌₀^∞ (1/(n+1))·(x+2)ⁿ. O conteúdo é séries de potências centradas em x₀=–2 e vamos usar o Teste da Razão pra achar o raio.

Passo 2

O Teste da Razão diz que para uma série de potências ∑aₙ·(x–x₀)ⁿ a gente calcula L=limₙ→∞ |aₙ₊₁/aₙ|·|x–x₀| e exige L<1 pra convergir. O raio R vem de |x–x₀|<R, onde R=1/limₙ→∞|aₙ₊₁/aₙ|.

Passo 3

No nosso caso, os coeficientes são aₙ=7.2/(n+1). Então

Passo 4

an+1an=7.2/(n+2)7.2/(n+1)=n+1n+2

Passo 5

Como limntoinfty(n+1n+2)=1, o critério vira |x+2|<1. Logo, o raio de convergência é R=1.

Passo 6

Pra achar o intervalo, testamos as bordas:

Passo 7

Em x=–1 (ou seja x+2=1) a série fica 7.2 ∑ₙ₌₀^∞ 1/(n+1), que é a série harmônica deslocada e diverge.

Passo 8

Em x=–3 (ou seja x+2=–1) a série vira 7.2 ∑ₙ₌₀^∞ (–1)ⁿ/(n+1), que é uma série alternada decrescente em módulo e converge pelo teste de Leibniz.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é [–3, –1).

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