Seja a função definida por G(x)=\int_{0}^{x}\left(t^{3}\right) d t, Mostre que G é uma primitiva para f(x)=x^{3}. Mostramos isso para qualquer função contínua f, Em qual resultado isso foi feito?

Passo 1

O enunciado dá a função
G(x)=\int_{0}^{x}\bigl(t^{3}\bigr)\,dt
e pede para mostrar que G é uma primitiva de f(x)=x^{3}. Também pergunta em qual resultado foi mostrado que isso vale para qualquer função contínua f. Informações relevantes: o integrando é a função t\mapsto t^{3} contínua para todo t, e o limite inferior da integral é 0 enquanto o superior é x.

Passo 2

Vamos primeiro calcular explicitamente a integral definida que define G(x). Para isso usamos a regra de integração de potências: para todo n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.
Explicando essa fórmula: ela é escolhida de modo que, ao derivarmos \frac{t^{n+1}}{n+1} em relação a t, obtemos t^{n} porque a derivada de t^{n+1} é (n+1)t^{n} e o fator \frac{1}{n+1} cancela esse (n+1). Aqui n=3, portanto uma primitiva de t^{3} é \frac{t^{4}}{4}.
Agora aplicamos isso para a integral definida de 0 até x:
G(x)=\int_{0}^{x} t^{3}\,dt = \left.\frac{t^{4}}{4}\right|_{t=0}^{t=x} = \frac{x^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}=\frac{x^{4}}{4}.
Portanto escrevemos G(x)=\tfrac{x^{4}}{4}.

Passo 3

Com G(x)=\tfrac{x^{4}}{4} podemos derivar G usando a regra da potência: para n inteiro positivo, a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando aqui,
G'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{4}}{4}\right)=\frac{4}{4}\,x^{3}=x^{3}.
Logo G'(x)=x^{3}, isto é, G é realmente uma primitiva de f(x)=x^{3}.

Passo 4

Agora explico o fato mais geral pedido: por que a construção F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt produz sempre uma primitiva de f quando f é contínua? O resultado é o seguinte.
Enunciado do resultado (forma curta): se f é contínua em um intervalo que contém a e x, então a função
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
é diferenciável em x e satisfaz F'(x)=f(x).
Explicação didática do porquê (esboço de prova por cota/Teorema do Valor Médio para integrais): considere o quociente de diferença
\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt.
Como f é contínua em x, para h pequeno f(t) fica próxima de f(x) em todo o intervalo [x,x+h]. Pelo Teorema do Valor Médio para integrais (que diz que, se f for contínua em [x,x+h], existe c\in[x,x+h] tal que \int_{x}^{x+h} f(t)\,dt = f\text{(c)}\,h), temos
\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt = f\text{(c)}.
Ao fazer h\to 0, o ponto c tende para x e, pela continuidade de f, f\text{(c)}\to f(x). Portanto o limite do quociente de diferença é f(x), isto é F'(x)=f(x). Essa é a ideia central do Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I.

Passo 5

Aplicando esse resultado ao caso f(t)=t^{3} (que é contínua em todo \mathbb{R}), a função
G(x)=\int_{0}^{x} t^{3}\,dt
é diferenciável e satisfaz G'(x)=t^{3}\big|_{t=x}=x^{3}. Isso concorda com o cálculo explícito que fizemos antes.

Resposta

G'(x)=x^{3}.\nResultado: Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (às vezes chamado Teorema de Barrow).

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