Suponha que um ponto P em movimento sobre uma reta coordenada tenha uma velocidade contínua
. Mostre que o valor médio de
em
é igual a velocidade média durante o intervalo de tempo
.
Passo 1
O enunciado diz que um ponto
se move sobre uma reta coordenada e que sua velocidade instantânea é uma função contínua
definida no intervalo
. Ele pede que mostremos que o “valor médio” de
em
é igual à “velocidade média” no mesmo intervalo de tempo.
Informações dadas:
Informações dadas:
O que se pede:
mostrar que
mostrar que
onde
é a posição de
em função do tempo.
Passo 2
Definição e interpretação do “valor médio” de uma função. Para uma função contínua
em
, o valor médio de
no intervalo é
O que isso significa: pense em
como a “área sob a curva”
entre
e
. Dividindo por
estamos espalhando essa área igualmente sobre a largura do intervalo; o resultado é a altura média da curva — ou seja, o valor médio de
ao longo do tempo de
a
. Aqui, cada símbolo significa:
-
: velocidade instantânea no tempo ; -
: integral (soma contínua) dos valores de no intervalo; -
: duração total do intervalo de tempo.
Porque
é contínua em
, ela é integrável (podemos calcular
).
Passo 3
Definição de “velocidade média” de um movimento. A velocidade média de um corpo no intervalo de tempo
é a razão entre o deslocamento total e o tempo total:
onde
é a função posição (coordenada) de
. Aqui:
-
é a posição no tempo ; -
é a posição no tempo ; -
é o deslocamento (pode ser negativo se o movimento for para o sentido negativo).
Essa é a definição clássica de velocidade média: distância vetorial percorrida dividida pelo intervalo de tempo.
Passo 4
Relação entre velocidade instantânea
e posição
. Por definição física e matemática, a velocidade instantânea é a derivada da posição:
Se a velocidade
é contínua, podemos construir uma função posição
por
Explicação dessa construção: definimos
de modo que em
a posição seja
e, ao somar a integral
, acumulamos todos os pequenos deslocamentos desde
até
. O Teorema Fundamental do Cálculo garante que a função definida por
é diferenciável e
. Assim
, ou seja,
é uma primitiva de
.
Passo 5
Calcular o deslocamento total usando a integral. Usando a definição de
do passo anterior, temos:
Portanto o deslocamento total entre
e
é exatamente a integral da velocidade no intervalo.
Passo 6
Igualando o valor médio e a velocidade média. Agora basta dividir ambos os lados da igualdade do passo anterior por
:
O lado esquerdo é o valor médio de
em
e o lado direito é a velocidade média no intervalo. Assim, são iguais.
Passo 7
Interpretação intuitiva e observação extra. Intuitivamente: somando todos os pequenos deslocamentos
obtemos o deslocamento total; dividir pelo tempo total dá a velocidade média. Uma consequência interessante (e que dá mais intuição) é o Teorema do Valor Médio para integrais: como
é contínua, existe
tal que
ou seja, em algum instante a velocidade instantânea é igual à velocidade média. Isso não era pedido, mas ajuda a entender a igualdade.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar. Tome
em
. Calculamos:
A posição correspondente é
, então
e a velocidade média é
. Confere com o valor médio calculado.