Suponha que um ponto P em movimento sobre uma reta coordenada tenha uma velocidade contínua v(t). Mostre que o valor médio de v(t) em [a, b] é igual a velocidade média durante o intervalo de tempo [a, b].

Passo 1

O enunciado diz que um ponto P se move sobre uma reta coordenada e que sua velocidade instantânea é uma função contínua v(t) definida no intervalo [a,b]. Ele pede que mostremos que o “valor médio” de v(t) em [a,b] é igual à “velocidade média” no mesmo intervalo de tempo.
Informações dadas:
\text{função velocidade } v(t)\text{ contínua em }[a,b].çãí
O que se pede:
mostrar que
\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} v(t)\,dt = \frac{x(b)-x(a)}{b-a},
onde x(t) é a posição de P em função do tempo.

Passo 2

Definição e interpretação do “valor médio” de uma função. Para uma função contínua v(t) em [a,b], o valor médio de v no intervalo é
\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} v(t)\,dt.
O que isso significa: pense em \int_{a}^{b} v(t)\,dt como a “área sob a curva” v(t) entre t=a e t=b. Dividindo por b-a estamos espalhando essa área igualmente sobre a largura do intervalo; o resultado é a altura média da curva — ou seja, o valor médio de v ao longo do tempo de a a b. Aqui, cada símbolo significa:
  • v(t): velocidade instantânea no tempo t;
  • \int_{a}^{b} v(t)\,dt: integral (soma contínua) dos valores de v no intervalo;
  • b-a: duração total do intervalo de tempo.
Porque v é contínua em [a,b], ela é integrável (podemos calcular \int_a^b v).

Passo 3

Definição de “velocidade média” de um movimento. A velocidade média de um corpo no intervalo de tempo [a,b] é a razão entre o deslocamento total e o tempo total:
\text{velocidade média} = \frac{\text{deslocamento total}}{\text{duração}} = \frac{x(b)-x(a)}{b-a},éçã
onde x(t) é a função posição (coordenada) de P. Aqui:
  • x(a) é a posição no tempo a;
  • x(b) é a posição no tempo b;
  • x(b)-x(a) é o deslocamento (pode ser negativo se o movimento for para o sentido negativo).
Essa é a definição clássica de velocidade média: distância vetorial percorrida dividida pelo intervalo de tempo.

Passo 4

Relação entre velocidade instantânea v(t) e posição x(t). Por definição física e matemática, a velocidade instantânea é a derivada da posição:
v(t) = x'(t).
Se a velocidade v é contínua, podemos construir uma função posição x por
x(t) = x(a) + \int_{a}^{t} v(s)\,ds.
Explicação dessa construção: definimos x de modo que em t=a a posição seja x(a) e, ao somar a integral \int_a^t v(s)\,ds, acumulamos todos os pequenos deslocamentos desde a até t. O Teorema Fundamental do Cálculo garante que a função definida por G(t)=\int_a^t v(s)\,ds é diferenciável e G'(t)=v(t). Assim x'(t)=v(t), ou seja, x é uma primitiva de v.

Passo 5

Calcular o deslocamento total usando a integral. Usando a definição de x(t) do passo anterior, temos:
x(b)-x(a) = \bigg(x(a)+\int_{a}^{b} v(s)\,ds\bigg) - x(a) = \int_{a}^{b} v(s)\,ds.
Portanto o deslocamento total entre a e b é exatamente a integral da velocidade no intervalo.

Passo 6

Igualando o valor médio e a velocidade média. Agora basta dividir ambos os lados da igualdade do passo anterior por b-a:
\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} v(t)\,dt = \frac{x(b)-x(a)}{b-a}.
O lado esquerdo é o valor médio de v em [a,b] e o lado direito é a velocidade média no intervalo. Assim, são iguais.

Passo 7

Interpretação intuitiva e observação extra. Intuitivamente: somando todos os pequenos deslocamentos v(t)\,dt obtemos o deslocamento total; dividir pelo tempo total dá a velocidade média. Uma consequência interessante (e que dá mais intuição) é o Teorema do Valor Médio para integrais: como v é contínua, existe c\in(a,b) tal que
v\text{(c)} = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} v(t)\,dt,
ou seja, em algum instante a velocidade instantânea é igual à velocidade média. Isso não era pedido, mas ajuda a entender a igualdade.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar. Tome v(t)=2t em [0,2]. Calculamos:
\frac{1}{2-0}\int_{0}^{2} 2t\,dt = \frac{1}{2}\bigg[t^{2}\bigg]_{0}^{2} = \frac{1}{2}\cdot 4 = 2.
A posição correspondente é x(t)=x(0)+\int_0^t 2s\,ds = x(0)+t^{2}, então x(2)-x(0)=4 e a velocidade média é 4/2=2. Confere com o valor médio calculado.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} v(t)\,dt = \frac{x(b)-x(a)}{b-a}

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