Seja
a função definida por
:
a) Identifique os pontos críticos de
;
b) Decida se os pontos críticos de
, encontrados no item a), são pontos de máximo local, de mínimo local ou de sela.
c) Encontre os extremantes globais de
no conjunto
.
a) Identifique os pontos críticos de
b) Decida se os pontos críticos de
c) Encontre os extremantes globais de
Passo 1
O enunciado pede para a função
no plano
:
- (a) achar todos os pontos críticos (onde o gradiente é zero),
- (b) classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela,
- (c) num disco fechado
determinar os extremos globais de
.
Os conceitos usados serão gradiente, Hessiana, análise de sinais de e maximização sujeita a restrição.
Os conceitos usados serão gradiente, Hessiana, análise de sinais de
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Para ter ponto crítico precisamos de
Isso obriga
Logo o conjunto de pontos críticos é
isto é, toda a reta vertical
mais toda a reta horizontal
.
Passo 3
Para classificar usamos que
em todo
e
se, e somente se,
ou
.
Em qualquer ponto crítico temos
.
Se sairmos de em qualquer direção transversal às retas críticas,
passa a ser positivo.
Não há vizinhança em que fique negativa nem que fique maior que zero em todos os pontos.
Portanto cada ponto crítico é um mínimo local (de fato um “vale” degenerado), e não há máximos locais nem selas.
Em qualquer ponto crítico
Se sairmos de
Não há vizinhança em que
Portanto cada ponto crítico é um mínimo local (de fato um “vale” degenerado), e não há máximos locais nem selas.
Passo 4
No disco
procuramos extremos globais de
onde
,
e
.
Como , o mínimo global em
é
, ocorrido sempre que
(isto é
) ou
(isto é
) dentro do disco.
Para o máximo, no contorno definimos
,
, com
, e maximizamos
Como
Para o máximo, no contorno
Pela condição de primeira ordem surge
e
dá
,
.
Assim
Assim
ocorrendo nos quatro pontos soluções de
isto é
Resposta
a) Os pontos críticos são todas as retas
b) Cada ponto crítico é um mínimo local (todos são “vales” degenerados). Não há máximos locais nem pontos de sela.
c) Em
, o mínimo global é
, atingido sempre que
ou
.
O máximo global é
O máximo global é
ocorrido nos quatro pontos