Seja f: R^2 R a função definida por f(x, y)=(x-1)^2(y-3)^4 :
a) Identifique os pontos críticos de f;
b) Decida se os pontos críticos de f, encontrados no item a), são pontos de máximo local, de mínimo local ou de sela.
c) Encontre os extremantes globais de f no conjunto D=(x, y) in R^2 ;(x-1)^2+(y-3)^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y) = (x-1)^2,(y-3)^4
no plano R^2:
  • (a) achar todos os pontos críticos (onde o gradiente é zero),
  • (b) classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela,
  • (c) num disco fechado
D = l(x,y)inR^2 mid (x-1)^2+(y-3)^2<=1r
determinar os extremos globais de f.
Os conceitos usados serão gradiente, Hessiana, análise de sinais de f e maximização sujeita a restrição.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
fx(x,y) = 2,(x-1),(y-3)^4, fy(x,y) = 4,(x-1)^2,(y-3)^3
Para ter ponto crítico precisamos de
fx(x,y)=0 e fy(x,y)=0
Isso obriga
2,(x-1),(y-3)^4=0 Longrightarrow x=1 ou y=3,
4,(x-1)^2,(y-3)^3=0 Longrightarrow x=1 ou y=3
Logo o conjunto de pontos críticos é
(x,y):x=1,cup,(x,y):y=3,
isto é, toda a reta vertical x=1 mais toda a reta horizontal y=3.

Passo 3

Para classificar usamos que f(x,y)>=0 em todo R^2 e f=0 se, e somente se, x=1 ou y=3.
Em qualquer ponto crítico (x0,y0) temos f(x0,y0)=0.
Se sairmos de (x0,y0) em qualquer direção transversal às retas críticas, f passa a ser positivo.
Não há vizinhança em que f fique negativa nem que fique maior que zero em todos os pontos.
Portanto cada ponto crítico é um mínimo local (de fato um “vale” degenerado), e não há máximos locais nem selas.

Passo 4

No disco D procuramos extremos globais de
f(x,y) = u^2,v^4,
onde u=x-1, v=y-3 e u^2+v^2<=1.
Como f>=0, o mínimo global em D é 0, ocorrido sempre que u=0 (isto é x=1) ou v=0 (isto é y=3) dentro do disco.
Para o máximo, no contorno u^2+v^2=1 definimos a=u^2, b=v^2, com a+b=1, e maximizamos
g(a,b)=a,b^2,;a,b>=0,;a+b=1
Pela condição de primeira ordem surge b=2a e a+b=1 a=tfrac13, b=tfrac23.
Assim
maxDf = 13,l(23r)^2 = 427,
ocorrendo nos quatro pontos soluções de
u = pmraiztfrac13, v=pmraiztfrac23,
isto é
(x,y) = l(1pmraiztfrac13,,3pmraiztfrac23r)

Resposta

a) Os pontos críticos são todas as retas
(x,y):x=1e(x,y):y=3
b) Cada ponto crítico é um mínimo local (todos são “vales” degenerados). Não há máximos locais nem pontos de sela.
c) Em D, o mínimo global é f=0, atingido sempre que x=1 ou y=3.
O máximo global é
maxDf = 427,
ocorrido nos quatro pontos
l(1pmraiztfrac13,,3pmraiztfrac23r)

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