Seja a função f(x)=-x^{2}, para -1 \leq x \leq 1. Faça o que se pede.
Escreva uma lei para uma função que: comprima verticalmente o gráfico de f por um fator multiplicativo \frac{1}{2}. Dê o domínio e a imagem dessa nova função e esboce o seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x) = -x^{2},\quad -1 \le x \le 1.
O que é pedido:
  • Escrever uma lei para uma nova função que comprima verticalmente o gráfico de f por um fator multiplicativo \tfrac{1}{2}.
  • Determinar o domínio dessa nova função.
  • Determinar a imagem (intervalo de valores) dessa nova função.
  • Esboçar o gráfico da nova função (dar os pontos e a forma suficiente para desenhar).

Passo 2

O que significa "comprimir verticalmente por um fator multiplicativo \tfrac{1}{2}"?
  • Tomando um ponto qualquer do gráfico de f, digamos (x,y) com y=f(x), uma compressão vertical por fator k (com 0<k<1) transforma esse ponto em (x,ky). Ou seja, mantém o mesmo x e multiplica a coordenada y por k.
  • Algebraicamente, se a função original é f(x), a função resultante é
g(x)=k\cdot f(x).
  • No nosso caso k=\tfrac{1}{2}. Portanto a nova função g é obtida multiplicando f por \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Escrevendo a lei da nova função:
g(x)=\tfrac{1}{2}\,f(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(-x^{2}\bigr).
Simplificando:
g(x)=-\tfrac{1}{2}x^{2}.
Essa é a lei pedida: para cada x escolhe-se g(x)=-\tfrac{1}{2}x^{2}.

Passo 4

Determinar o domínio de g.
  • A compressão vertical não altera quais valores de x são permitidos: apenas escala os valores de saída ( y). Portanto o domínio de g é igual ao domínio de f.
  • Como f foi dada para -1\le x\le 1, temos domínio de g:
\text{Dom}(g)=[-1,1].

Passo 5

Determinar a imagem (intervalo de valores) de g.
  • Primeiro lembramos a imagem de f. Para f(x)=-x^{2} em [-1,1]:
    • f(0)=0 é o maior valor (vértice da parábola voltada para baixo).
    • f(\pm 1)=-1 são os menores valores no intervalo dado.
    • Logo a imagem de f é [-1,0].
  • Agora g(x)=\tfrac{1}{2}f(x). Multiplicar todos os valores da imagem de f por \tfrac{1}{2} escala o intervalo:
\tfrac{1}{2}\cdot[-1,0]=[-\tfrac{1}{2},0].
  • Portanto a imagem de g é
\text{Im}(g)=[-\tfrac{1}{2},0].

Passo 6

Verificação com pontos-chave (para ajudar a esboçar):
  • x=0:\quad g(0)=-\tfrac{1}{2}\cdot 0^{2}=0.
  • x=1:\quad g(1)=-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}=-\tfrac{1}{2}.
  • x=-1:\quad g(-1)=-\tfrac{1}{2}\cdot (-1)^{2}=-\tfrac{1}{2}.
  • x=\tfrac{1}{2}:\quad g(\tfrac{1}{2})=-\tfrac{1}{2}\cdot\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=-\tfrac{1}{8}.
    Esses pontos mostram claramente a forma: vértice em (0,0), aberturas para baixo, passa por (\pm 1,-\tfrac{1}{2}).

Passo 7

Como esboçar o gráfico (instruções práticas para a prova):
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Marque o domínio [-1,1] no eixo x; o gráfico só existe para esses x.
  • Coloque o vértice em (0,0).
  • Marque os pontos (1,-\tfrac{1}{2}) e (-1,-\tfrac{1}{2}).
  • Ligue suavemente formando uma parábola voltada para baixo que atinge 0 em x=0 e -\tfrac{1}{2} nos extremos x=\pm1.
  • Se quiser pontos extras, use x=\pm\tfrac{1}{2} que dão y=-\tfrac{1}{8} para melhorar a curvatura do esboço.

Resposta

g(x)=-\tfrac{1}{2}x^{2}
\text{Dom}(g)=[-1,1]
\text{Im}(g)=[-\tfrac{1}{2},0]

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