Seja a função
, para
. Faça o que se pede.
Escreva uma lei para uma função que: comprima verticalmente o gráfico de
por um fator multiplicativo
. Dê o domínio e a imagem dessa nova função e esboce o seu gráfico.
Escreva uma lei para uma função que: comprima verticalmente o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que é pedido:
- Escrever uma lei para uma nova função que comprima verticalmente o gráfico de
por um fator multiplicativo . - Determinar o domínio dessa nova função.
- Determinar a imagem (intervalo de valores) dessa nova função.
- Esboçar o gráfico da nova função (dar os pontos e a forma suficiente para desenhar).
Passo 2
O que significa "comprimir verticalmente por um fator multiplicativo
"?
- Tomando um ponto qualquer do gráfico de
, digamos com , uma compressão vertical por fator (com ) transforma esse ponto em . Ou seja, mantém o mesmo e multiplica a coordenada por . - Algebraicamente, se a função original é
, a função resultante é
- No nosso caso
. Portanto a nova função é obtida multiplicando por .
Passo 3
Escrevendo a lei da nova função:
Simplificando:
Essa é a lei pedida: para cada
escolhe-se
.
Passo 4
Determinar o domínio de
.
- A compressão vertical não altera quais valores de
são permitidos: apenas escala os valores de saída ( ). Portanto o domínio de é igual ao domínio de . - Como
foi dada para , temos domínio de :
Passo 5
Determinar a imagem (intervalo de valores) de
.
- Primeiro lembramos a imagem de
. Para em : -
é o maior valor (vértice da parábola voltada para baixo). -
são os menores valores no intervalo dado. - Logo a imagem de
é .
-
- Agora
. Multiplicar todos os valores da imagem de por escala o intervalo:
- Portanto a imagem de
é
Passo 6
Verificação com pontos-chave (para ajudar a esboçar):
-
-
-
-
Esses pontos mostram claramente a forma: vértice em, aberturas para baixo, passa por .
Passo 7
Como esboçar o gráfico (instruções práticas para a prova):
- Desenhe os eixos
e . - Marque o domínio
no eixo ; o gráfico só existe para esses . - Coloque o vértice em
. - Marque os pontos
e . - Ligue suavemente formando uma parábola voltada para baixo que atinge
em e nos extremos . - Se quiser pontos extras, use
que dão para melhorar a curvatura do esboço.