Nos itens a), b) e c) a seguir, esboce o gráfico das funções quadráticas num mesmo sistema de coordenadas:
a.
. O que acontece com o gráfico da função
, quando multiplicamos
por uma constante positiva?
b.
. O que acontece com o gráfico da função
, quando à variável
, somamos ou subtraímos uma constante positiva?
c.
. O que acontece com o gráfico da função
, quando à variável
, somamos ou subtraímos uma constante positiva? Note que realmente, a constante foi somada ou subtraída da variável
.
d. Levando em consideração as informações obtidas nos itens acima, esboce o gráfico das funções abaixo, a partir do gráfico da função elementar
. Explique as transformações que ocorreram.
a.
b.
c.
d. Levando em consideração as informações obtidas nos itens acima, esboce o gráfico das funções abaixo, a partir do gráfico da função elementar
Passo 1
O enunciado pede que, para várias famílias de funções quadráticas, eu esboce os gráficos no mesmo sistema e responda o que acontece com o gráfico de
quando:
- a) multiplicamos
por uma constante positiva; - b) substituímos
por mais ou menos uma constante (isto é, somamos/subtraímos na variável ); - c) somamos/subtraímos uma constante na saída
(isto é, somamos/subtraímos na variável ).
Além disso, no item d) preciso esboçar os gráficos das funções
a partir do gráfico da função elementar
e explicar as transformações ocorridas.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Função base:
com vértice em , eixo de simetria e abre para cima. - a) também fornece
e . - b) fornece
e . - c) fornece
e . - d) pede combinação de transformações nas funções explicitadas acima.
Passo 2
Entender a forma canônica e como ler transformações: a forma
é útil porque mostra, de cara:
- vértice em
; - fator
controla abertura/escala vertical e sinal (se há reflexão); - a parábola abre para cima se
e para baixo se .
Aqui cada símbolo significa:
-
: multiplicador vertical (se estica verticalmente; se comprime verticalmente; se também reflete). -
: deslocamento horizontal (vértice em ). -
: deslocamento vertical (vértice em ).
Vou usar essa ideia para interpretar cada item: identificar
,
e
e então descrever como o gráfico de
se transforma.
Passo 3
Item (a): efeito de multiplicar por constante positiva.
- Função geral:
com . - Propriedade: os valores de
de são multiplicados por . Ou seja, para qualquer ,
- Consequências práticas:
- Se
: cada fica maior em valor absoluto → a parábola fica “mais estreita” (verticalmente esticada). - Se
: cada fica menor → a parábola fica “mais larga” (verticalmente comprimida). - O vértice permanece em
e o eixo de simetria continua sendo .
- Se
- Exemplificando com pontos fáceis (pegando
): - Para
: , , . - Para
: , , . Observa-se que os são metade dos de → gráfico mais largo. - Para
: , , . Observa-se que os são o dobro → gráfico mais estreito.
- Para
Passo 4
Como esboçar (prática para prova) quando há apenas multiplicador
:
- Marcar o vértice
. - Escolher 2–3 abscissas simples, por exemplo
e . - Calcular os
usando a fórmula e marcar os pontos simétricos. - Ligar suavemente os pontos formando a parábola.
Dica: comparar componto a ponto mostra claramente se ficou mais larga ou mais estreita.
Passo 5
Item (b): efeito de somar/subtrair na variável
(deslocamento horizontal).
- Forma considerada:
. - Propriedade: isso desloca o gráfico de
horizontalmente em unidades para a direita (se ) ou para a esquerda (se ). - Raciocínio simples: colocar
transforma a função em ; o vértice ocorre quando , ou seja quando . - Aplicando aos exemplos:
-
tem vértice em → deslocada 1 unidade para a direita. -
tem vértice em → deslocada 1 unidade para a esquerda.
-
Passo 6
Como esboçar quando há deslocamento horizontal:
- Identificar o vértice imediato: para
é . - Traçar o eixo de simetria
. - Levar pontos de referência: por exemplo, os pontos que eram
na agora ficam deslocados em : . - Ligar suavemente formando a parábola.
Passo 7
Item (c): efeito de somar/subtrair na saída
(deslocamento vertical).
- Forma:
. - Propriedade: soma de
na saída desloca o gráfico verticalmente: -
: desloca para cima unidades. -
: desloca para baixo unidades.
-
- Exemplos:
-
tem vértice em (deslocada 2 unidades para baixo). -
tem vértice em (deslocada 2 unidades para cima).
-
Passo 8
Como esboçar quando há deslocamento vertical:
- Mover o vértice
para . - Manter a forma/abertura (mesmo
se não houver multiplicador). - Traçar pontos de referência: por exemplo, os pontos
em passam a ser em . - Ligar formando a parábola.
Passo 9
Combinações e ordem: quando a função tem várias transformações, por exemplo
, o procedimento prático para esboçar é:
- Identificar
, , . - Marcar o vértice em
. - Determinar se há reflexão pelo sinal de
(se abre para baixo). - Usar pontos de referência em relação ao vértice, por exemplo
para avaliar e obter simetria.
Essa ordem (localizar vértice, verificar reflexão/escala, marcar pontos simétricos) é a mais direta para fazer o esboço rápido na prova.
Passo 10
Aplicando às funções do item d):
.
- Identificar parâmetros comparando com
: -
, , .
-
- Interpretação das transformações a partir de
: - desloca para a direita
unidade (por causa de ); - desloca para cima
unidades (por causa do ); - não há reflexão nem alteração de escala (pois
).
- desloca para a direita
- Vértice:
. - Pontos úteis para esboço:
dá (vértice); e dão (pois e ); dá . - Com esses pontos e o eixo de simetria
consegue-se um esboço preciso.
Passo 11
Aplicando à outra função do item d):
.
- Reescrever como
: aqui , e então , . - Interpretação das transformações a partir de
: - desloca para a esquerda
unidades (por causa de ); - reflete em relação ao eixo
(por causa de ): a parábola que antes abria para cima agora abre para baixo; - desloca para baixo
unidade (por causa do ).
- desloca para a esquerda
- Vértice:
. - Pontos úteis: para
tem (vértice); para e tem (pois ); para tem . - Com vértice, direção para baixo e pontos simétricos é fácil esboçar.
Passo 12
Resumo do procedimento prático para esboçar qualquer
na prova (passos rápidos):
- Identifique
. - Marque o vértice
. - Marque o eixo de simetria
. - Determine se abre para cima (
) ou para baixo ( ). - Escolha abscissas próximas
e calcule os para obter pontos simétricos. - Ligue suavemente os pontos formando a parábola.
Resposta
a) Multiplicar
por uma constante positiva
multiplica todos os valores de
por
; se
a parábola fica mais estreita (esticada verticalmente), se
fica mais larga (comprimida); vértice e eixo não mudam. Ex.:
mais larga;
mais estreita.
b) Substituir
por
desloca o gráfico horizontalmente para a direita em
unidades (se
); substituir por
desloca para a esquerda 1. Ex.:
desloca para a direita 1 com vértice em
;
desloca para a esquerda 1 com vértice em
.
c) Somar uma constante
à saída desloca verticalmente:
sobe em
unidades,
desce em
unidades. Ex.:
tem vértice em
;
tem vértice em
.
d)
: deslocamento para a direita 1 e para cima 2; vértice em
; abre para cima; mesma largura que
.
d)
: deslocamento para a esquerda 2, reflexão no eixo
(abre para baixo), deslocamento para baixo 1; vértice em
.