Nos itens a), b) e c) a seguir, esboce o gráfico das funções quadráticas num mesmo sistema de coordenadas:
a. f(x)=x^{2} ; g(x)=\frac{1}{2} x^{2} ; h(x)=2 x^{2}. O que acontece com o gráfico da função f(x)=x^{2}, quando multiplicamos x^{2} por uma constante positiva?
b. \quad f(x)=x^{2} ; g(x)=(x-1)^{2} ; \quad h(x)=(x+1)^{2}. O que acontece com o gráfico da função f(x)=x^{2}, quando à variável x, somamos ou subtraímos uma constante positiva?
c. f(x)=x^{2} ; g(x)=x^{2}-2 ; h(x)=x^{2}+2. O que acontece com o gráfico da função f(x)=x^{2}, quando à variável y, somamos ou subtraímos uma constante positiva? Note que realmente, a constante foi somada ou subtraída da variável y.
d. Levando em consideração as informações obtidas nos itens acima, esboce o gráfico das funções abaixo, a partir do gráfico da função elementar y=x^{2}. Explique as transformações que ocorreram.
g(x)=(x-1)^{2}+2 \quad \text { e } \quad h(x)=-(x+2)^{2}-1

Passo 1

O enunciado pede que, para várias famílias de funções quadráticas, eu esboce os gráficos no mesmo sistema e responda o que acontece com o gráfico de f(x)=x^{2} quando:
  • a) multiplicamos x^{2} por uma constante positiva;
  • b) substituímos x por x mais ou menos uma constante (isto é, somamos/subtraímos na variável x);
  • c) somamos/subtraímos uma constante na saída y (isto é, somamos/subtraímos na variável y).
    Além disso, no item d) preciso esboçar os gráficos das funções
g(x)=(x-1)^{2}+2 \qquad\text{e}\qquad h(x)=-(x+2)^{2}-1
a partir do gráfico da função elementar y=x^{2} e explicar as transformações ocorridas.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Função base: f(x)=x^{2} com vértice em (0,0), eixo de simetria x=0 e abre para cima.
  • a) também fornece g(x)=\tfrac{1}{2}x^{2} e h(x)=2x^{2}.
  • b) fornece g(x)=(x-1)^{2} e h(x)=(x+1)^{2}.
  • c) fornece g(x)=x^{2}-2 e h(x)=x^{2}+2.
  • d) pede combinação de transformações nas funções explicitadas acima.

Passo 2

Entender a forma canônica e como ler transformações: a forma
y=a(x-h)^{2}+k
é útil porque mostra, de cara:
  • vértice em (h,k);
  • fator a controla abertura/escala vertical e sinal (se a<0 há reflexão);
  • a parábola abre para cima se a>0 e para baixo se a<0.
Aqui cada símbolo significa:
  • a: multiplicador vertical (se a>1 estica verticalmente; se 0<a<1 comprime verticalmente; se a<0 também reflete).
  • h: deslocamento horizontal (vértice em x=h).
  • k: deslocamento vertical (vértice em y=k).
Vou usar essa ideia para interpretar cada item: identificar a, h e k e então descrever como o gráfico de y=x^{2} se transforma.

Passo 3

Item (a): efeito de multiplicar por constante positiva.
  • Função geral: y=a x^{2} com a>0.
  • Propriedade: os valores de y de x^{2} são multiplicados por a. Ou seja, para qualquer x,
\text{novo }y = a\cdot(\text{antigo }y).
  • Consequências práticas:
    • Se a>1: cada y fica maior em valor absoluto → a parábola fica “mais estreita” (verticalmente esticada).
    • Se 0<a<1: cada y fica menor → a parábola fica “mais larga” (verticalmente comprimida).
    • O vértice permanece em (0,0) e o eixo de simetria continua sendo x=0.
  • Exemplificando com pontos fáceis (pegando x=0,1,2):
    • Para f(x)=x^{2}: f(0)=0, f(1)=1, f(2)=4.
    • Para g(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}: g(0)=0, g(1)=\tfrac{1}{2}, g(2)=2. Observa-se que os y são metade dos de f → gráfico mais largo.
    • Para h(x)=2x^{2}: h(0)=0, h(1)=2, h(2)=8. Observa-se que os y são o dobro → gráfico mais estreito.

Passo 4

Como esboçar (prática para prova) quando há apenas multiplicador a:
  1. Marcar o vértice (0,0).
  2. Escolher 2–3 abscissas simples, por exemplo x=\pm1 e x=\pm2.
  3. Calcular os y usando a fórmula y=a x^{2} e marcar os pontos simétricos.
  4. Ligar suavemente os pontos formando a parábola.
    Dica: comparar com f(x)=x^{2} ponto a ponto mostra claramente se ficou mais larga ou mais estreita.

Passo 5

Item (b): efeito de somar/subtrair na variável x (deslocamento horizontal).
  • Forma considerada: y=(x-h)^{2}.
  • Propriedade: isso desloca o gráfico de y=x^{2} horizontalmente em h unidades para a direita (se h>0) ou para a esquerda (se h<0).
  • Raciocínio simples: colocar u=x-h transforma a função em y=u^{2}; o vértice ocorre quando u=0, ou seja quando x=h.
  • Aplicando aos exemplos:
    • g(x)=(x-1)^{2} tem vértice em (1,0) f deslocada 1 unidade para a direita.
    • h(x)=(x+1)^{2}=(x-(-1))^{2} tem vértice em (-1,0) f deslocada 1 unidade para a esquerda.

Passo 6

Como esboçar quando há deslocamento horizontal:
  1. Identificar o vértice imediato: para (x-h)^{2} é (h,0).
  2. Traçar o eixo de simetria x=h.
  3. Levar pontos de referência: por exemplo, os pontos que eram (0,0),(1,1),(-1,1) na f agora ficam deslocados em h: (h,0),(h+1,1),(h-1,1).
  4. Ligar suavemente formando a parábola.

Passo 7

Item (c): efeito de somar/subtrair na saída y (deslocamento vertical).
  • Forma: y=x^{2}+k.
  • Propriedade: soma de k na saída desloca o gráfico verticalmente:
    • k>0: desloca para cima k unidades.
    • k<0: desloca para baixo |k| unidades.
  • Exemplos:
    • g(x)=x^{2}-2 tem vértice em (0,-2) (deslocada 2 unidades para baixo).
    • h(x)=x^{2}+2 tem vértice em (0,2) (deslocada 2 unidades para cima).

Passo 8

Como esboçar quando há deslocamento vertical:
  1. Mover o vértice (0,0) para (0,k).
  2. Manter a forma/abertura (mesmo a se não houver multiplicador).
  3. Traçar pontos de referência: por exemplo, os pontos (\pm1,1) em f passam a ser (\pm1,1+k) em f+k.
  4. Ligar formando a parábola.

Passo 9

Combinações e ordem: quando a função tem várias transformações, por exemplo y=a(x-h)^{2}+k, o procedimento prático para esboçar é:
  1. Identificar a, h, k.
  2. Marcar o vértice em (h,k).
  3. Determinar se há reflexão pelo sinal de a (se a<0 abre para baixo).
  4. Usar pontos de referência em relação ao vértice, por exemplo x=h\pm1 para avaliar y e obter simetria.
    Essa ordem (localizar vértice, verificar reflexão/escala, marcar pontos simétricos) é a mais direta para fazer o esboço rápido na prova.

Passo 10

Aplicando às funções do item d): g(x)=(x-1)^{2}+2.
  • Identificar parâmetros comparando com y=a(x-h)^{2}+k:
    • a=1, h=1, k=2.
  • Interpretação das transformações a partir de y=x^{2}:
    1. desloca para a direita 1 unidade (por causa de (x-1));
    2. desloca para cima 2 unidades (por causa do +2);
    3. não há reflexão nem alteração de escala (pois a=1).
  • Vértice: (1,2).
  • Pontos úteis para esboço: x=1 y=2 (vértice); x=0 e x=2 dão y=3 (pois (0-1)^{2}+2=3 e (2-1)^{2}+2=3); x=3 y=6.
  • Com esses pontos e o eixo de simetria x=1 consegue-se um esboço preciso.

Passo 11

Aplicando à outra função do item d): h(x)=-(x+2)^{2}-1.
  • Reescrever como y=a(x-h)^{2}+k: aqui a=-1, e (x+2)^{2}=(x-(-2))^{2} então h=-2, k=-1.
  • Interpretação das transformações a partir de y=x^{2}:
    1. desloca para a esquerda 2 unidades (por causa de (x+2));
    2. reflete em relação ao eixo x (por causa de a=-1): a parábola que antes abria para cima agora abre para baixo;
    3. desloca para baixo 1 unidade (por causa do -1).
  • Vértice: (-2,-1).
  • Pontos úteis: para x=-2 tem y=-1 (vértice); para x=-1 e x=-3 tem y=-2 (pois -(1)^{2}-1=-2); para x=0 tem y=-(2)^{2}-1=-5.
  • Com vértice, direção para baixo e pontos simétricos é fácil esboçar.

Passo 12

Resumo do procedimento prático para esboçar qualquer y=a(x-h)^{2}+k na prova (passos rápidos):
  1. Identifique a,h,k.
  2. Marque o vértice (h,k).
  3. Marque o eixo de simetria x=h.
  4. Determine se abre para cima ( a>0) ou para baixo ( a<0).
  5. Escolha abscissas próximas x=h\pm1, h\pm2 e calcule os y para obter pontos simétricos.
  6. Ligue suavemente os pontos formando a parábola.

Resposta

a) Multiplicar x^{2} por uma constante positiva a multiplica todos os valores de y por a; se a>1 a parábola fica mais estreita (esticada verticalmente), se 0<a<1 fica mais larga (comprimida); vértice e eixo não mudam. Ex.: g(x)=\tfrac{1}{2}x^{2} mais larga; h(x)=2x^{2} mais estreita.
b) Substituir x por x-h desloca o gráfico horizontalmente para a direita em h unidades (se h>0); substituir por x+1 desloca para a esquerda 1. Ex.: (x-1)^{2} desloca para a direita 1 com vértice em (1,0); (x+1)^{2} desloca para a esquerda 1 com vértice em (-1,0).
c) Somar uma constante k à saída desloca verticalmente: +k sobe em k unidades, -k desce em k unidades. Ex.: x^{2}-2 tem vértice em (0,-2); x^{2}+2 tem vértice em (0,2).
d) g(x)=(x-1)^{2}+2: deslocamento para a direita 1 e para cima 2; vértice em (1,2); abre para cima; mesma largura que y=x^{2}.
d) h(x)=-(x+2)^{2}-1: deslocamento para a esquerda 2, reflexão no eixo x (abre para baixo), deslocamento para baixo 1; vértice em (-2,-1).

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