Seja f(x) uma função que não é definida em um ponto x_{0} \in \mathbb{R}. Uma função g(x) tal que g(x)=f(x) se x \neq x_{0} e tal que g(x) é contínua em x_{0} é dita uma extensão contínua de f em x_{0}. O ponto x_{0} também é chamado de singularidade removível e, por um abuso de linguagem, também é chamado de descontínuadade removível. Se f(x) está definida em x_{0} e mesmo assim não é contínua em x_{0} e formos capazes de definir uma função g(x) contínua em x_{0} e tal que g(x)=f(x) se x \neq x_{0}, então x_{0} é chamado também de descontínuidade removível e g(x) de extensão contínua de f. Note que em ambos os casos, podemos "concertar"a descontínuidade da função alterando ou inserindo um valor dela no ponto x_{0}. Nos itens a seguir, ache a extensão contínua de f no ponto dado: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-9}{x-3}, & \text { se } x \neq 3, \\\\ 4 & \text { se } x=3\end{array} \quad\right. em x_{0}=3
e pede uma extensão contínua de f em x_{0}=3.
O conteúdo usado será limite de função e continuidade: para “consertar” a descontinuidade removível em x=3, basta substituir o valor de f(3) pelo limite de f(x) quando x\to3.]
Passo 2
Calculamos o limite lateral (que, como veremos, existe e é igual) de f(x) ao nos aproximarmos de 3 por qualquer lado. Para x\neq3,