Seja f(x) uma função que não é definida em um ponto x_{0} \in \mathbb{R}. Uma função g(x) tal que g(x)=f(x) se x \neq x_{0} e tal que g(x) é contínua em x_{0} é dita uma extensão contínua de f em x_{0}. O ponto x_{0} também é chamado de singularidade removível e, por um abuso de linguagem, também é chamado de descontínuadade removível. Se f(x) está definida em x_{0} e mesmo assim não é contínua em x_{0} e formos capazes de definir uma função g(x) contínua em x_{0} e tal que g(x)=f(x) se x \neq x_{0}, então x_{0} é chamado também de descontínuidade removível e g(x) de extensão contínua de f. Note que em ambos os casos, podemos "concertar"a descontínuidade da função alterando ou inserindo um valor dela no ponto x_{0}. Nos itens a seguir, ache a extensão contínua de f no ponto dado:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-9}{x-3}, & \text { se } x \neq 3, \\\\ 4 & \text { se } x=3\end{array} \quad\right. em x_{0}=3

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}-9}{\,x-3\,},&x\neq3,\\[6pt] 4,&x=3, \end{cases}
e pede uma extensão contínua de f em x_{0}=3.
O conteúdo usado será limite de função e continuidade: para “consertar” a descontinuidade removível em x=3, basta substituir o valor de f(3) pelo limite de f(x) quando x\to3.]

Passo 2

Calculamos o limite lateral (que, como veremos, existe e é igual) de f(x) ao nos aproximarmos de 3 por qualquer lado. Para x\neq3,
f(x)=\frac{x^{2}-9}{\,x-3\,} =\frac{(x-3)(x+3)}{\,x-3\,} =x+3.
Logo,
\lim_{x\to3}f(x) =\lim_{x\to3}(x+3) =6.

Passo 3

Para que a nova função g(x)\) seja contínua em \(x=3\), definimos \[g(x)= \begin{cases} f(x),&x\neq3,\\[4pt] 6,&x=3. \end{cases}
Dessa forma, \lim_{x\to3}g(x)=6\] e \(g(3)=6, garantindo continuidade em x=3.]

Resposta

g(x)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}-9}{\,x-3\,},&x\neq3,\\[6pt] 6,&x=3. \end{cases}]

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