O enunciado a segur é mais geral que o que foi visto em aula e ele inclui limites infinitos ou no infinito. Leia com atenção antes de responder os próximos itens.
Teorema (Limite da Função Composta) Sejam f(x) e g(x) duas funções. Suponha que \lim _{u \rightarrow p} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=p, onde p \in \mathbb{R} \cup\{\infty,-\infty\} e a \in \mathbb{R} \cup {\infty,-\infty}. Suponha que g(x) \neq p quando x esta suficientemente próximo de a, mas x \neq a. Então
\lim _{x \rightarrow a} f \circ g(x)=\lim _{u \rightarrow p} f(u)
Calcule os limites a seguir, usando o Limite da Função Composta:
\lim _{x \rightarrow 0} \sin (3 x+1)

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
\lim_{x\to0}\sin(3x+1),
usando o Teorema do Limite da Função Composta e o fato de que a função seno é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 2

Definimos
g(x)=3x+1 \quad\text{e}\quad f(u)=\sin(u).
Quando x\to0,
\lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}(3x+1)=1.

Passo 3

Como a função \sin(u) é contínua em u=1, temos
\lim_{u\to1}f(u)=\lim_{u\to1}\sin(u)=\sin(1).

Passo 4

Pelo Teorema do Limite da Função Composta,
\lim_{x\to0}\sin(3x+1) =\lim_{u\to1}\sin(u) =\sin(1).

Resposta

\sin(1)

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