Seja a função f ( x , y , z ) = x 3 y − z 4 y 2 , onde x = (u+1) e v − 1 , y = u+ 2v e z = v cos u. Determine o valor da derivada parcial de f em relação a v para u = 0 e v = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(x, y, z) = x^3 y - z^4 y^2 $ onde $ x $, $ y $ e $ z $ são funções de $ u $ e $ v $. O objetivo é encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ v $ quando $ u = 0 $ e $ v = 1 $. Para isso, vamos precisar usar o Regra da Cadeia para derivadas parciais, que nos ajuda a calcular a taxa de variação de $ f $ em relação a $ v $ considerando que $ x $, $ y $ e $ z $ também dependem de $ v $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que nos foram dadas:
x = u + 1v - 1, y = u + 2v, z = v cos u
Além disso, temos a função:
f(x, y, z) = x^3 y - z^4 y^2
Nosso objetivo é encontrar $ \frac{\partial f}{\partial v} $ quando $ u = 0 $ e $ v = 1 $.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $. Essas derivadas nos mostrarão como $ f $ muda quando cada uma dessas variáveis muda.
f
x
y

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas das funções $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ v $.
Para $ x = \frac{u + 1}{v - 1} $:
x
Para $ y = u + 2v $:
y
Para $ z = v \cos u $:
z

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar $ \frac{\partial f}{\partial v} $:
partial fpartial v
Substituindo as derivadas que calculamos:
partial fpartial v = partial fpartial x cdot partial xpartial v + partial fpartial y cdot partial ypartial v + partial fpartial z cdot partial zpartial v

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores $ u = 0 $ e $ v = 1 $ nas funções $ x $, $ y $ e $ z $:
Para $ x $:
u = 0
Oops! Aqui encontramos uma divisão por zero, o que significa que a função $ x $ não está definida em $ v = 1 $ para $ u = 0 $. Portanto, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ v $ nesse ponto não existe.

Resposta

A derivada parcial de $ f $ em relação a $ v $ para $ u = 0 $ e $ v = 1 $ não está definida devido a uma divisão por zero na função $ x $.

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