Seja uma v.a. X com função de probabilidade dada na tabela a seguir:
x 0 1 2 3 4 5
p_{X}(x) 0 p^{2} p^{2} p p p^{2}
(a) Encontre o valor de p.
(b) Calcule P(X \geq 4) e P(X<3).
(c) Calcule P(|X-3| \geq 2).

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta de uma v.a. X com suporte \{0,1,2,3,4,5\}. As probabilidades fornecidas (peguei todos os valores do enunciado) são:
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline p_X(x) & 0 & p^{2} & p^{2} & p & p & p^{2} \end{array}
O enunciado pede:
(a) encontrar o valor de p;
(b) calcular P(X\ge 4) e P(X<3);
(c) calcular P(|X-3|\ge 2).

Passo 2

Regra fundamental que vou usar: as probabilidades de todos os pontos do suporte somam 1. Isso é, se \{x_i\} é o suporte então
\sum_i p_X(x_i)=1.
Aqui, somando as probabilidades dadas:
0 + p^{2} + p^{2} + p + p + p^{2} = 1.
Agrupando termos iguais obtemos a equação em p:
3p^{2} + 2p - 1 = 0.
Isto é uma equação quadrática da forma ap^{2}+bp+c=0 com a=3, b=2, c=-1. A fórmula de Bhaskara diz que as raízes são
p=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Calculo o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16.
Então as raízes são
p=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{6}=\frac{-2\pm 4}{6}.
Isso dá duas soluções: p=\dfrac{-2+4}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} e p=\dfrac{-2-4}{6}=\dfrac{-6}{6}=-1.
Como p aparece em probabilidades ( p e p^{2}), ele deve ser um número real tal que todas as probabilidades fiquem entre 0 e 1. A solução p=-1 produziria probabilidades negativas e é impossível. Portanto
p=\frac{1}{3}.
Verificação rápida: p^{2}=\dfrac{1}{9} e 3\cdot\dfrac{1}{9}+2\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1, ok.

Passo 3

Calcular P(X\ge 4). O evento \{X\ge 4\} é a união disjunta dos pontos \{4,5\}, logo pela regra da soma para eventos disjuntos:
P(X\ge 4)=p_X(4)+p_X(5)=p+p^{2}.
Substituindo p=\dfrac{1}{3}:
P(X\ge 4)=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{3}{9}+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}.

Passo 4

Calcular P(X<3). O evento \{X<3\} corresponde a \{0,1,2\}. Somando as probabilidades:
P(X<3)=p_X(0)+p_X(1)+p_X(2)=0+p^{2}+p^{2}=2p^{2}.
Substituindo p^{2}=\dfrac{1}{9}:
P(X<3)=2\cdot\frac{1}{9}=\frac{2}{9}.

Passo 5

Calcular P(|X-3|\ge 2). Primeiro traduzo a desigualdade: |X-3|\ge 2 significa X-3\le -2 ou X-3\ge 2, isto é X\le 1 ou X\ge 5. No suporte discreto \{0,1,2,3,4,5\} isso corresponde aos pontos \{0,1,5\}.
Somando as probabilidades:
P(|X-3|\ge 2)=p_X(0)+p_X(1)+p_X(5)=0+p^{2}+p^{2}=2p^{2}.
Com p^{2}=\dfrac{1}{9}:
P(|X-3|\ge 2)=\frac{2}{9}.

Resposta

(a) p=\dfrac{1}{3}
(b) P(X\ge 4)=\dfrac{4}{9}
P(X<3)=\dfrac{2}{9}
(c) P(|X-3|\ge 2)=\dfrac{2}{9}

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