Seja uma v.a. X com função de probabilidade dada na tabela a seguir:
0
1
2
3
4
5
0
(a) Encontre o valor de
.
(b) Calcule
e
.
(c) Calcule
.
|
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
(b) Calcule
(c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta de uma v.a.
com suporte
. As probabilidades fornecidas (peguei todos os valores do enunciado) são:
O enunciado pede:
(a) encontrar o valor de ;
(b) calcular e
;
(c) calcular .
(a) encontrar o valor de
(b) calcular
(c) calcular
Passo 2
Regra fundamental que vou usar: as probabilidades de todos os pontos do suporte somam 1. Isso é, se
é o suporte então
Aqui, somando as probabilidades dadas:
Agrupando termos iguais obtemos a equação em
:
Isto é uma equação quadrática da forma
com
,
,
. A fórmula de Bhaskara diz que as raízes são
Calculo o discriminante:
Então as raízes são
Isso dá duas soluções:
e
.
Como aparece em probabilidades (
e
), ele deve ser um número real tal que todas as probabilidades fiquem entre
e
. A solução
produziria probabilidades negativas e é impossível. Portanto
Como
Verificação rápida:
e
, ok.
Passo 3
Calcular
. O evento
é a união disjunta dos pontos
, logo pela regra da soma para eventos disjuntos:
Substituindo
:
Passo 4
Calcular
. O evento
corresponde a
. Somando as probabilidades:
Substituindo
:
Passo 5
Calcular
. Primeiro traduzo a desigualdade:
significa
ou
, isto é
ou
. No suporte discreto
isso corresponde aos pontos
.
Somando as probabilidades:
Somando as probabilidades:
Com
:
Resposta
(a)
(b)
(c)