Fazer X a variável aleatória soma dos pontos obtidos no lançamento de dois dados. Determine: a)quadro da distribuição de probabilidade de \mathrm{X} ; \mathrm{b}) P(3 \leq X \leq 10) \mathrm{c}) P(X>7) d) P(X \leq 5) e)Probabilidade de soma máxima 6; f)Probabilidade de se obter pelo menos soma 3 ; g) F(4) h) F(8) i) F(15) j) F(1) k) F(5,5) l) F(12) Aqui F representa a função de distribuição acumulada de X.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a variável aleatória X, definida como a soma dos pontos obtidos no lançamento de dois dados (justamente dois dados comuns, equiprováveis, com faces 1 a 6). Vou listar claramente o que é pedido (copiando as letras do enunciado) e o que sabemos de imediato:
  • Pedido (a): quadro da distribuição de probabilidade de X.
  • Pedido (b): P(3 \leq X \leq 10).
  • Pedido (c): P(X>7).
  • Pedido (d): P(X \leq 5).
  • Pedido (e): Probabilidade de soma máxima 6.
  • Pedido (f): Probabilidade de se obter pelo menos soma 3.
  • Pedido (g): F(4).
  • Pedido (h): F(8).
  • Pedido (i): F(15).
  • Pedido (j): F(1).
  • Pedido (k): F(5,5) (nota: o enunciado usa vírgula como separador decimal, ou seja é F(5{,}5) = F(5{.}5)).
  • Pedido (l): F(12).
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
  • Cada dado tem 6 faces numeradas 1,2,3,4,5,6.
  • O espaço amostral dos dois dados, considerando ordem, tem 36 resultados igualmente prováveis: (1,1),(1,2),\dots,(6,6).
  • A variável X toma valores inteiros de 2 a 12.
A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Explicar como construir a distribuição de probabilidade de X (aula curta e bem prática).
  • Cada resultado dos dois dados é um par ordenado (i,j) com i\in\{1,\dots,6\} e j\in\{1,\dots,6\}. Há 6\times6=36 casos, todos com probabilidade 1/36.
  • Para um valor s\in\{2,\dots,12\}, P(X=s) é o número de pares (i,j) tais que i+j=s dividido por 36.
  • Uma forma prática de contar: para s=2,3,\dots,7 o número de pares é s-1 (ex.: para s=4 as combinações são (1,3),(2,2),(3,1) — são 3 = 4-1 maneiras). Para s=8,9,\dots,12 vale a simetria e o número de pares é 13-s (ex.: para s=11 13-11=2 maneiras: (5,6),(6,5)).
  • Portanto a contagem é: para s=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 os números de maneiras são 1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1, respectivamente.

Passo 3

Montar explicitamente a tabela de probabilidades (isto é o quadro pedido em (a)). Vou listar cada soma s, o número de combinações e a probabilidade P(X=s).
  • Para s=2: número de combinações 1. Logo
P(X=2)=\frac{1}{36}.
  • Para s=3: número de combinações 2. Logo
P(X=3)=\frac{2}{36}.
  • Para s=4: número de combinações 3. Logo
P(X=4)=\frac{3}{36}.
  • Para s=5: número de combinações 4. Logo
P(X=5)=\frac{4}{36}.
  • Para s=6: número de combinações 5. Logo
P(X=6)=\frac{5}{36}.
  • Para s=7: número de combinações 6. Logo
P(X=7)=\frac{6}{36}.
  • Para s=8: número de combinações 5. Logo
P(X=8)=\frac{5}{36}.
  • Para s=9: número de combinações 4. Logo
P(X=9)=\frac{4}{36}.
  • Para s=10: número de combinações 3. Logo
P(X=10)=\frac{3}{36}.
  • Para s=11: número de combinações 2. Logo
P(X=11)=\frac{2}{36}.
  • Para s=12: número de combinações 1. Logo
P(X=12)=\frac{1}{36}.
Dica útil para a prova: decore ou saiba derivar rápido a sequência de contagens 1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1. Isso resolve o item (a) na hora.

Passo 4

Agora calculamos cada probabilidade pedida, usando a tabela acima. Sempre somamos as probabilidades correspondentes aos valores solicitados.
(b) Calcular P(3\le X\le 10).
Somar as contagens para s=3,4,5,6,7,8,9,10: 2+3+4+5+6+5+4+3.
Fazendo as contas passo a passo:
2+3=5,\quad 5+4=9,\quad 9+5=14,\quad 14+6=20,\quad 20+5=25,\quad 25+4=29,\quad 29+3=32.
Então
P(3\le X\le 10)=\frac{32}{36}=\frac{8}{9}.

Passo 5

(c) Calcular P(X>7).
Isto é P(X\in\{8,9,10,11,12\}). Soma das contagens: 5+4+3+2+1=15. Logo
P(X>7)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}.

Passo 6

(d) Calcular P(X\le 5).
Isto é P(X\in\{2,3,4,5\}). Soma das contagens: 1+2+3+4=10. Logo
P(X\le 5)=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}.

Passo 7

(e) “Probabilidade de soma máxima 6” — interpretação e cálculo.
Interpreto "soma máxima 6" como "a soma é no máximo 6", ou seja X\le 6. (Essa interpretação é a mais natural no contexto de somas de dados.) Então
P(X\le 6)=P(X\in\{2,3,4,5,6\})=\frac{1+2+3+4+5}{36}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}.

Passo 8

(f) "Probabilidade de se obter pelo menos soma 3" — isto é P(X\ge 3).
Como P(X\ge 3)=1-P(X\le 2) e P(X=2)=\tfrac{1}{36}, temos
P(X\ge 3)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}.

Passo 9

Agora os itens que envolvem a função de distribuição acumulada F. Lembrete rápido: para variável discreta X,
F(x)=P(X\le x).
Como X só assume valores inteiros de 2 a 12, F(x) é uma função em degraus que só muda de valor nos inteiros entre 2 e 12.
(g) F(4)=P(X\le 4)=P(X\in\{2,3,4\}). Soma das contagens 1+2+3=6. Então
F(4)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.

Passo 10

(h) F(8)=P(X\le 8)= soma das contagens de 2 até 8: 1+2+3+4+5+6+5.
Somando: 1+2=3,\;3+3=6,\;6+4=10,\;10+5=15,\;15+6=21,\;21+5=26. Logo
F(8)=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}.

Passo 11

(i) F(15)=P(X\le 15). Como o maior valor possível de X é 12, para qualquer x\ge 12 tem-se F(x)=1. Portanto
F(15)=1.

Passo 12

(j) F(1)=P(X\le 1). O menor valor de X é 2, então para x<2 temos F(x)=0. Assim
F(1)=0.

Passo 13

(k) F(5{,}5) (isto é F(5{.}5)) para variável discreta: como não existem valores entre 5 e 6, F(5{,}5)=P(X\le 5{,}5)=P(X\le 5). Já calculamos P(X\le 5)=\tfrac{10}{36}=\tfrac{5}{18}. Então
F(5{,}5)=\frac{5}{18}.

Passo 14

(l) F(12)=P(X\le 12). Como 12 é o maior valor possível,
F(12)=1.

Resposta

a) P(X=2)=\tfrac{1}{36},\;P(X=3)=\tfrac{2}{36},\;P(X=4)=\tfrac{3}{36},\;P(X=5)=\tfrac{4}{36},\;P(X=6)=\tfrac{5}{36},\;P(X=7)=\tfrac{6}{36},\;P(X=8)=\tfrac{5}{36},\;P(X=9)=\tfrac{4}{36},\;P(X=10)=\tfrac{3}{36},\;P(X=11)=\tfrac{2}{36},\;P(X=12)=\tfrac{1}{36}
b) P(3\le X\le10)=\tfrac{32}{36}=\tfrac{8}{9}
c) P(X>7)=\tfrac{15}{36}=\tfrac{5}{12}
d) P(X\le5)=\tfrac{10}{36}=\tfrac{5}{18}
e) P(X\le6)=\tfrac{15}{36}=\tfrac{5}{12}
f) P(X\ge3)=\tfrac{35}{36}
g) F(4)=P(X\le4)=\tfrac{6}{36}=\tfrac{1}{6}
h) F(8)=P(X\le8)=\tfrac{26}{36}=\tfrac{13}{18}
i) F(15)=1
j) F(1)=0
k) F(5{,}5)=P(X\le5{,}5)=\tfrac{10}{36}=\tfrac{5}{18}
l) F(12)=1

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