Fazer X a variável aleatória soma dos pontos obtidos no lançamento de dois dados. Determine: a)quadro da distribuição de probabilidade de
d)
e)Probabilidade de soma máxima 6; f)Probabilidade de se obter pelo menos soma 3 ; g)
h)
i)
j)
k)
l)
Aqui
representa a função de distribuição acumulada de X.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a variável aleatória
, definida como a soma dos pontos obtidos no lançamento de dois dados (justamente dois dados comuns, equiprováveis, com faces
a
). Vou listar claramente o que é pedido (copiando as letras do enunciado) e o que sabemos de imediato:
- Pedido (a): quadro da distribuição de probabilidade de
. - Pedido (b):
. - Pedido (c):
. - Pedido (d):
. - Pedido (e): Probabilidade de soma máxima
. - Pedido (f): Probabilidade de se obter pelo menos soma
. - Pedido (g):
. - Pedido (h):
. - Pedido (i):
. - Pedido (j):
. - Pedido (k):
(nota: o enunciado usa vírgula como separador decimal, ou seja é = ). - Pedido (l):
.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
- Cada dado tem
faces numeradas . - O espaço amostral dos dois dados, considerando ordem, tem
resultados igualmente prováveis: . - A variável
toma valores inteiros de a .
A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Explicar como construir a distribuição de probabilidade de
(aula curta e bem prática).
- Cada resultado dos dois dados é um par ordenado
com e . Há casos, todos com probabilidade . - Para um valor
, é o número de pares tais que dividido por . - Uma forma prática de contar: para
o número de pares é (ex.: para as combinações são — são = maneiras). Para vale a simetria e o número de pares é (ex.: para há maneiras: ). - Portanto a contagem é: para
os números de maneiras são , respectivamente.
Passo 3
Montar explicitamente a tabela de probabilidades (isto é o quadro pedido em (a)). Vou listar cada soma
, o número de combinações e a probabilidade
.
- Para
: número de combinações . Logo
- Para
: número de combinações . Logo
- Para
: número de combinações . Logo
- Para
: número de combinações . Logo
- Para
: número de combinações . Logo
- Para
: número de combinações . Logo
- Para
: número de combinações . Logo
- Para
: número de combinações . Logo
- Para
: número de combinações . Logo
- Para
: número de combinações . Logo
- Para
: número de combinações . Logo
Dica útil para a prova: decore ou saiba derivar rápido a sequência de contagens
. Isso resolve o item (a) na hora.
Passo 4
Agora calculamos cada probabilidade pedida, usando a tabela acima. Sempre somamos as probabilidades correspondentes aos valores solicitados.
(b) Calcular
.
Somar as contagens para
:
.
Fazendo as contas passo a passo:
Fazendo as contas passo a passo:
Então
Passo 5
(c) Calcular
.
Isto é
. Soma das contagens:
. Logo
Passo 6
(d) Calcular
.
Isto é
. Soma das contagens:
. Logo
Passo 7
(e) “Probabilidade de soma máxima 6” — interpretação e cálculo.
Interpreto "soma máxima
" como "a soma é no máximo
", ou seja
. (Essa interpretação é a mais natural no contexto de somas de dados.) Então
Passo 8
(f) "Probabilidade de se obter pelo menos soma
" — isto é
.
Como
e
, temos
Passo 9
Agora os itens que envolvem a função de distribuição acumulada
. Lembrete rápido: para variável discreta
,
Como
só assume valores inteiros de
a
,
é uma função em degraus que só muda de valor nos inteiros entre
e
.
(g)
. Soma das contagens
. Então
Passo 10
(h)
soma das contagens de
até
:
.
Somando: . Logo
Somando:
Passo 11
(i)
. Como o maior valor possível de
é
, para qualquer
tem-se
. Portanto
Passo 12
(j)
. O menor valor de
é
, então para
temos
. Assim
Passo 13
(k)
(isto é
) para variável discreta: como não existem valores entre
e
,
. Já calculamos
. Então
Passo 14
(l)
. Como
é o maior valor possível,
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)