Seja a função de transferência em malha aberta de um sistema com realimentação unitária:
G(s)=\frac{K}{s\left(\frac{s}{5}+1\right)\left(\frac{s}{200}+1\right)}
a. Use esboços do diagrama de Bode para projetar um compensador de avanço tal que o sistema em malha fechada satisfaça que o erro em regime permanente para uma rampa como entrada de referência seja menor que 0,01, e o coeficiente de amortecimento seja maior ou igual que 0,4 para os polos dominantes de malha fechada.
b. Verifique seu projeto usando o Matlab (ou outro software)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a função de transferência em malha aberta (com realimentação unitária) é
G(s)=\frac{K}{s\left(\frac{s}{5}+1\right)\left(\frac{s}{200}+1\right)}.
  • O sistema tem realimentação unitária: malha fechada T(s)=\dfrac{L(s)}{1+L(s)} com L(s)=C(s)G(s). Neste enunciado o ganho K faz parte de G(s).
  • Pedidos:
    (a) projetar um compensador de avanço (lead) tal que, no laço fechado,
    • o erro em regime permanente para entrada rampa seja menor que 0,01;
    • o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes \zeta seja \ge 0,4.
      (b) verificar o projeto no Matlab (ou similar).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Polos do plant nominal (quando K é apenas ganho): em s=0 (integrador), s=-5 e s=-200.
  • O erro em regime permanente para rampa (entrada r(t)=at, normalmente a=1) em sistema unit-feedback é dado por \mathrm{ess}=\dfrac{1}{K_v}, onde \displaystyle K_v=\lim_{s\to0} sL(s)=\lim_{s\to0} s\,C(s)G(s).
  • Um compensador de avanço típico tem forma
C(s)=\frac{\tau s+1}{\alpha\tau s+1},\qquad 0<\alpha<1,
que fornece um ganho de pico (em magnitude) de 1/\sqrt{\alpha} e um avanço máximo de fase \phi_{\max} (fórmulas serão dadas e usadas adiante).

Passo 2

Requisito de erro em regime permanente para rampa: relacionando K_v a K.
  • Definição: para sistema em malha aberta G(s) e controlador C(s), \displaystyle K_v=\lim_{s\to0} s\,C(s)G(s).
  • Aqui adotaremos um compensador de avanço com ganho estático unitário em s=0 (ou seja C(0)=1) para não alterar a condição de regime estático além do ganho K. Então
K_v=\lim_{s\to0} s\,G(s)=\lim_{s\to0}\frac{K s}{s\left(\frac{s}{5}+1\right)\left(\frac{s}{200}+1\right)}=K,
pois \left(\frac{s}{5}+1\right)\to1 e \left(\frac{s}{200}+1\right)\to1.
  • O erro em regime permanente para rampa é \mathrm{ess}=\dfrac{1}{K_v}=\dfrac{1}{K}.
  • Requisito \mathrm{ess}<0,01 implica
\frac{1}{K}<0,01 \quad\Rightarrow\quad K>100.
  • Conclusão prática: o ganho total K deve ser maior que 100. Vou escolher um valor razoável e simples para K que deixa certa margem: K=120. Isso já garante
\mathrm{ess}=\frac{1}{120}\approx0,00833<0,01.
(Manterei C(0)=1 para não alterar K_v.)

Passo 3

Esboço mental do diagrama de Bode do plant e cálculo do crossover e margem de fase sem compensador (com K=120) — passo importante para saber quanto avanço precisamos.
  • A expressão de magnitude (com K explícito) é
|G(j\omega)|=\frac{K}{\omega\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{5}\right)^2}\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{200}\right)^2}}.
  • Assimmptoticamente:
    • Para \omega\ll5: |G(j\omega)|\approx K/\omega (slope -20\,\mathrm{dB/dec} pela integrador).
    • Entre \omega\approx5 e \omega\approx200: slope cai para -40\,\mathrm{dB/dec} (por influência do polo em -5).
    • Acima de \approx200: slope -60\,\mathrm{dB/dec}.
  • Vamos achar aproximadamente a frequência de cruzamento de ganho \omega_{gc} (onde |G(j\omega_{gc})|=1, i.e. 0\,\mathrm{dB}) com K=120. Reescrevendo a condição:
\omega\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{5}\right)^2}\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{200}\right)^2}=K.
Faço uma solução numérica aproximada por tentativas rápidas:
  • \omega=20 dá produto \approx82{,}9 (<120);
  • \omega=24 dá produto \approx118{,}5 (quase 120);
  • \omega\approx24{,}2 torna o produto \approx120.
  • Logo \omega_{gc}\approx24{,}2\\ \mathrm{rad/s} para K=120.
  • Agora a fase do plant (sem compensador) é
\angle G(j\omega)=-90^\circ-\arctan\!\left(\frac{\omega}{5}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{200}\right).
  • Avaliando em \omega\approx24{,}2:
    • \arctan(24{,}2/5)\approx78{,}3^\circ;
    • \arctan(24{,}2/200)\approx6{,}9^\circ.
    • Logo \angle G(j\omega_{gc})\approx -90^\circ-78{,}3^\circ-6{,}9^\circ\approx -175{,}2^\circ.
  • A margem de fase é \mathrm{PM}=180^\circ+\angle G(j\omega_{gc})\approx 4{,}8^\circ. Muito pequena — vamos precisar de um compensador de avanço com ganho de fase grande.

Passo 4

Escolhendo a margem de fase desejada para garantir \zeta\ge0,4. Relação prática entre margem de fase e amortecimento.
  • Para projetistas é comum usar a aproximação prática (que funciona bem para sistemas dominados por pares complexos) :
\zeta \approx \sin\!\left(\frac{\mathrm{PM}}{2}\right).
Esta fórmula vem da aproximação dos polos dominantes como um segundo-ordem e relaciona a metade da margem de fase com o ângulo polar dos polos. É uma aproximação usada para projeto por margem de fase.
  • Queremos \zeta\ge0,4. Logo precisamos de \mathrm{PM} tal que
0,4 \le \sin\!\left(\frac{\mathrm{PM}}{2}\right) \quad\Rightarrow\quad \mathrm{PM}\ge 2\arcsin(0,4)\approx 2\cdot 23{,}58^\circ\approx 47{,}16^\circ.
  • Para margem de segurança é conveniente pedir um pouco mais (algumas unidades de grau). Vou projetar para obter uma \mathrm{PM} realística em torno de 48^\circ\text{–}52^\circ. Assim o requisito \zeta\ge0,4 será atendido com folga.
  • Aumentaremos a fase do laço em torno de \phi_{\mathrm{add}}\approx 44^\circ a 52^\circ (considerando a margem inicial muito baixa). Mais precisamente, a fase extra necessária é
\phi_{\mathrm{add}}\approx \mathrm{PM}_{\mathrm{desejada}} - \mathrm{PM}_{\mathrm{atual}} \approx 48^\circ - 4{,}8^\circ \approx 43{,}2^\circ,
mais uma pequena folga de projeto (5°–8°) para garantir que o pico do avanço e outros efeitos não façam faltar fase. Então precisaremos de um compensador lead com \phi_{\max} próximos a 50^\circ\!-\!55^\circ.

Passo 5

Escolha do lead compensador: determinar \alpha (mesura do avanço) e a frequência de máximo avanço \omega_m, depois \tau.
  • Fórmula útil para o avanço máximo de fase fornecido por
C(s)=\frac{\tau s+1}{\alpha\tau s+1},\qquad 0<\alpha<1,
é (padrão de projeto)
\phi_{\max}=\arcsin\!\left(\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\right).
Também a magnitude máxima (no pico) é 1/\sqrt{\alpha}, e a frequência onde ocorre \phi_{\max} é
\omega_m=\frac{1}{\tau\sqrt{\alpha}}.
  • Vou fixar \phi_{\max} em torno de 55^\circ para ter folga. Assim resolvo para \alpha usando
\frac{1-\alpha}{1+\alpha}=\sin(55^\circ).
Calculando:
\sin(55^\circ)\approx0{,}81915 \quad\Rightarrow\quad 1-\alpha=0{,}81915(1+\alpha)
1-0{,}81915=1{,}81915\alpha \quad\Rightarrow\quad \alpha\approx\frac{0{,}18085}{1{,}81915}\approx0{,}0995\approx0{,}10.
Portanto escolho \alpha=0{,}10 (valor prático).
  • Com \alpha=0{,}10 o ganho de pico do compensador é 1/\sqrt{\alpha}\approx 3{,}162 (≈ 10\\ \mathrm{dB}).
  • Agora preciso escolher \omega_m (frequência onde o compensador entrega esse avanço) de modo que, depois de aplicado o ganho de pico, a nova frequência de cruzamento de ganho esteja próxima de \omega_m. A condição a impor numericamente é
|L(j\omega)|=|C(j\omega)G(j\omega)|=1.
No pico (aproximando o pico por 1/\sqrt{\alpha}) dá
K\cdot |G_0(j\omega_m)|\cdot \frac{1}{\sqrt{\alpha}}\approx 1,
onde G_0(s)=\dfrac{1}{s(1+s/5)(1+s/200)} (isto é o plant sem o ganho K).
  • Reescrevendo,
|G_0(j\omega_m)|\approx\frac{\sqrt{\alpha}}{K}.
Com \alpha=0{,}10 e K=120,
\frac{\sqrt{\alpha}}{K}=\frac{\sqrt{0{,}10}}{120}\approx\frac{0{,}31623}{120}\approx0{,}002635.
  • Resolver numericamente para \omega_m tal que
|G_0(j\omega_m)|=\frac{1}{\omega_m\sqrt{1+(\omega_m/5)^2}\sqrt{1+(\omega_m/200)^2}} \approx 0{,}002635
é equivalente a achar \omega_m tal que
\omega_m\sqrt{1+(\omega_m/5)^2}\sqrt{1+(\omega_m/200)^2}\approx\frac{1}{0{,}002635}\approx379{,}5.
  • Tentativas numéricas rápidas:
    • \omega=42{,}5 dá produto \approx370{,}6 (um pouco baixo);
    • \omega=43{,}0 dá produto \approx382{,}8 (um pouco alto).
    • Assim tomo \omega_m\approx43{,}0\\ \mathrm{rad/s}.
  • Agora calcule \tau pela relação \tau=1/(\omega_m\sqrt{\alpha}):
\tau=\frac{1}{\omega_m\sqrt{\alpha}}\approx\frac{1}{43{,}0\cdot0{,}31623}\approx0{,}0736\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Expressão final do compensador e verificação aproximada por cálculo de fase no ponto de cruzamento.
  • Compensador projetado (valores numéricos):
\alpha=0{,}10,\qquad \tau\approx0{,}0736,
logo
C(s)=\frac{0{,}0736\,s+1}{0{,}00736\,s+1}.
(Obs.: o pólo está em s\approx -1/(0{,}00736)\approx -135{,}9\\ \mathrm{rad/s} e o zero em s\approx -1/0{,}0736\approx -13{,}59\\ \mathrm{rad/s}.)
  • Verificação aproximada da margem de fase no novo \omega_{gc}. Usando a condição de magnitude já imposta, estimei \omega_{gc}\approx43{,}0\\ \mathrm{rad/s}. Calculo a fase total em \omega=43:
    • Planta: \angle G(j\omega)=-90^\circ-\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{5}\right)-\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{200}\right).
      • Para \omega=43: \arctan(43/5)\approx83{,}4^\circ, \arctan(43/200)\approx12{,}15^\circ.
      • Assim \angle G(j43)\approx -185{,}55^\circ.
    • Compensador: \angle C(j\omega)=\arctan(\omega\tau)-\arctan(\omega\alpha\tau).
      • \omega\tau=43\cdot0{,}0736\approx3{,}165\Rightarrow\arctan\approx72{,}1^\circ.
      • \omega\alpha\tau=43\cdot0{,}00736\approx0{,}3167\Rightarrow\arctan\approx17{,}6^\circ.
      • Logo \angle C(j43)\approx72{,}1^\circ-17{,}6^\circ\approx54{,}5^\circ.
    • Fase total: \angle L(j43)\approx -185{,}55^\circ+54{,}5^\circ\approx -131{,}05^\circ.
    • Margem de fase estimada: \mathrm{PM}\approx 180^\circ-131{,}05^\circ\approx 48{,}95^\circ.
  • Usando a aproximação \zeta\approx\sin(\mathrm{PM}/2):
\zeta\approx\sin\!\left(\frac{48{,}95^\circ}{2}\right)=\sin(24{,}475^\circ)\approx0{,}415,
o que atende \zeta\ge0{,}4.
  • Checagem do erro em regime permanente para rampa:
K_v=\lim_{s\to0} sC(s)G(s)=K\cdot C(0)=K\cdot1=120,
portanto
\mathrm{ess}=\frac{1}{K_v}=\frac{1}{120}\approx0{,}00833<0{,}01.
  • Resumo numérico aproximado do projeto:
    • K=120.
    • C(s)=\dfrac{0{,}0736\,s+1}{0{,}00736\,s+1} (lead, \alpha=0{,}10, \tau\approx0{,}0736).
    • Margem de fase estimada \mathrm{PM}\approx48{,}95^\circ.
    • Amortecimento estimado \zeta\approx0{,}415.
    • Erro rampa \mathrm{ess}\approx0{,}00833.

Passo 7

Como verificar no Matlab (ou Octave) — código sugerido e o que observar.
Cole e execute no Matlab/Octave (troque ponto decimal conforme necessidade). Comentários: a verificação confirmará \mathrm{PM}, \omega_{gc}, polos em malha fechada e \mathrm{ess}.
Exemplo de script:
\n
s = tf(‘s’);\n
K = 120;\n
tau = 0.0736; alpha = 0.10;\n
C = (taus+1)/(alphataus+1);\n
G = K/( s
(s/5+1)(s/200+1) );\n
L = C
G;\n
% Bode / margem\n
[GM,PM,Wcg,Wcp] = margin(L);\n
fprintf(‘Phase margin = %g deg at wgc = %g rad/s\n’,PM,Wcg);\n
% Malha fechada\n
T = feedback(L,1);\n
d = damp(T); % mostra polos e amortecimento\n
disp(d);\n
% Calcular Kv e ess para rampa\n
Kv = dcgain(sL/(1+L)); % ou simplesmente Kv = KC(0)\n
ess = 1/Kv;\n
fprintf(‘Kv = %g, ess (rampa) = %g\n’,Kv,ess);\n
O que conferir nos resultados retornados:
  • A função margin(L) deve dar \mathrm{PM} aproximadamente 48{,}9^\circ e \omega_{gc} em torno de 43\\ \mathrm{rad/s}.
  • O comando damp(T) mostrará os polos do laço fechado com seus amortecimentos; os polos dominantes devem ter \zeta\approx0{,}41 (≥0,4).
  • A verificação de \mathrm{ess} deve mostrar \mathrm{ess}\approx0{,}00833.

Passo 8

Observações finais e dicas práticas para a prova (rápidas e motivadoras):
  • Em prova: primeiro calcule a exigência de regime estacionário (aqui K>100), depois fixe um K com folga (e.g. K=120). Em seguida faça o esboço do Bode do plant: localize frequências de canto, calcule \omega_{gc} e a fase atual; a diferença até a margem de fase desejada é quanto precisarás de avanço.
  • Use a fórmula do lead para achar \alpha a partir de \phi_{\max} desejado e então determine \tau posicionando \omega_m onde queres o novo ganho de cruzamento. Sempre deixe 5°–8° de folga para o pico do avanço não “ficar curto”.
  • Calma: no exame basta justificar os passos como aqui, não é preciso alta precisão numérica — mas dá muita confiança fazer uma verificação rápida no Matlab como eu indiquei.

Resposta

(a) Projeto: escolha do ganho K=120 e compensador de avanço
C(s)=\frac{0{,}0736\,s+1}{0{,}00736\,s+1}\quad(\alpha\approx0{,}10,\\ \tau\approx0{,}0736).
(b) Verificação (resultados aproximados):
Kv =120\Rightarrow \mathrm{ess}_{\text{rampa}}=1/120\approx0{,}00833<0{,}01.
Margem de fase estimada \mathrm{PM}\approx48{,}95^\circ em \omega_{gc}\approx43\\ \mathrm{rad/s}, o que dá amortecimento estimado \zeta\approx0{,}415\ge0{,}4.

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