Seja a função de transferência em malha fechada dada por:
T(s)=\frac{K}{s^{3}+18 s^{2}+77 s+K}
Utilizando o Critério de Routh-Hurwitz, determinar os valores do ganho K (admitir K>0 ) para que o sistema seja estável, para que o sistema seja instável e para que o sistema seja marginalmente estável. Comentar.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha fechada cujo denominador (polinômio característico) é
s^{3}+18 s^{2}+77 s+K=0,
com K>0. As perguntas são:
  • Para quais valores de K o sistema é estável?
  • Para quais valores de K o sistema é instável?
  • Para quais valores de K o sistema é marginalmente estável?
    Vou trabalhar com o polinômio característico acima e aplicar o Critério de Routh–Hurwitz.

Passo 2

Rápida aula sobre o Critério de Routh–Hurwitz (passo a passo, sem pular etapas).
  • Objetivo do critério: determinar quantas raízes do polinômio característico têm parte real positiva (ou seja, quantos polos estão no semiplano direito). Isso diz se o sistema é estável (nenhuma raiz com parte real positiva).
  • Como usar: constrói-se a tabela de Routh (Routh array). O número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela é igual ao número de raízes com parte real positiva.
  • Consequência prática: para estabilidade estrita (todas raízes com parte real negativa) é necessário e suficiente que todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh sejam estritamente positivos.
  • Caso especial: se algum elemento da primeira coluna for zero ou uma linha inteira for zero, aplica-se um procedimento especial (construir o polinômio auxiliar e derivá-lo) para tratar pares de raízes simétricas em relação ao eixo imaginário.

Passo 3

Construção da tabela de Routh para o polinômio \;s^{3}+18 s^{2}+77 s+K.
Colocam-se os coeficientes nas primeiras duas linhas:
\begin{array}{c|cc} s^{3} & 1 & 77\\[4pt] s^{2} & 18 & K \end{array}
Agora calculamos a entrada da linha s^{1} (primeiro elemento da coluna da esquerda nessa linha). A fórmula prática é
\text{elemento}=\frac{\begin{vmatrix}18 & K\\[2pt] 1 & 77\end{vmatrix}}{18} =\frac{18\cdot77-1\cdot K}{18}.
Portanto escrevemos
\text{linha }s^{1}:\quad \frac{18\cdot77-K}{18}\quad\text{e}\quad 0.
E a linha s^{0} contém simplesmente o termo constante K. Assim a tabela completa (apenas a primeira coluna que nos interessa) é
\begin{array}{c|c} s^{3} & 1\\[4pt] s^{2} & 18\\[4pt] s^{1} & \dfrac{1386-K}{18}\\[6pt] s^{0} & K \end{array}
Observação numérica: 18\cdot77=1386.]

Passo 4

Condição de estabilidade (todas entradas da primeira coluna positivas).
  • A primeira entrada 1>0 já é positiva.
  • A segunda entrada 18>0 já é positiva.
  • A terceira entrada deve ser positiva:
\frac{1386-K}{18}>0 \quad\Longrightarrow\quad 1386-K>0 \quad\Longrightarrow\quad K<1386.
  • A quarta entrada exige K>0 (condição já fornecida no enunciado).
    Juntando tudo: para estabilidade estrita é necessário e suficiente que
0<K<1386.
Interpretação: se K está nesse intervalo, todas as entradas da primeira coluna são positivas, não há mudanças de sinal e, portanto, nenhuma raiz com parte real positiva — o sistema é estável.

Passo 5

Caso K>1386 (mantendo K>0):
  • As entradas da primeira coluna ficam na sequência de sinais:
+ \quad (1),\qquad + \quad (18),\qquad - \quad\left(\dfrac{1386-K}{18}\right),\qquad + \quad (K).
Isso dá duas mudanças de sinal: de + para - e depois de - para +. Pelo Critério de Routh, o número de mudanças de sinal na primeira coluna é o número de polos no semiplano direito. Logo existem duas raízes com parte real positiva; o sistema é instável para
K>1386.

Passo 6

Caso limite K=1386 (caso especial, margem entre estável e instável).
  • Se K=1386 então a entrada da linha s^{1} fica zero:
\frac{1386-K}{18}=0.
Isso faz com que a linha s^{1} seja totalmente nula (os seus elementos são zero). Quando uma linha inteira da tabela de Routh é zero, construímos o polinômio auxiliar a partir da linha imediatamente acima (aqui a linha s^{2}) e derivamos esse polinômio para preencher a linha nula.
  • O polinômio auxiliar é formado com os coeficientes da linha s^{2}:
A(s)=18 s^{2}+K = 18 s^{2}+1386 = 18\bigl(s^{2}+77\bigr).
As raízes de A(s) são s=\pm j\sqrt{77} — ou seja, um par conjugado de raízes puramente imaginárias.
  • Substituindo K=1386 no polinômio característico, verifica-se também que o polinômio se fatoriza como
s^{3}+18 s^{2}+77 s+1386=(s+18)\bigl(s^{2}+77\bigr),
de onde as raízes são s=-18 e s=\pm j\sqrt{77}.
  • Conclusão: para K=1386 existe um par de polos simples sobre o eixo imaginário (sem repetição) e o terceiro polo está à esquerda (em -18). Esse caso corresponde a marginalidade (marginalmente estável): a resposta do sistema terá oscilações sustentadas na frequência \omega=\sqrt{77}, sem divergência, pois as raízes imaginárias são simples e não há polos no semiplano direito.

Passo 7

Resumo interpretativo / comentário final (empático e prático):
  • Para ganhos pequenos e positivos até K=1386 o controlador mantém o sistema estável. À medida que K aumenta e ultrapassa 1386, duas raízes atravessam para o semiplano direito e o sistema torna-se instável (com dois modos instáveis).
  • No exato valor crítico K=1386 o sistema fica marginalmente estável: oscilação sustentada na frequência \omega=\sqrt{77} (em rad/s) e um polo estável adicional em s=-18. Em termos de projeto de controle, K=1386 é um ponto de fronteira — subir um pouco mais e o sistema entra em instabilidade.
  • Observação prática: quando se usa o Critério de Routh, esse tratamento de linha nula (polinômio auxiliar) é padrão e indica pares imaginários; se esses pólos imaginários fossem repetidos (multiplicidade maior), haveria crescimento polinomial (instabilidade) em vez de oscilação pura.

Resposta

0<K<1386 (sistema estável)
K=1386 (sistema marginalmente estável)
K>1386 (sistema instável)

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