Calcule a energia e a potência dos seguintes sinais. Classifique os sinais como sendo de energia ou de potência.
x[n]=(u[n+3]-u[n-5]) \cdot n

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x[n]=(u[n+3]-u[n-5])\cdot n
e pede:
  • Calcular a energia do sinal.
  • Calcular a potência do sinal.
  • Classificar o sinal como de energia ou de potência.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • u[\cdot] é a função degrau unitário discreta.
  • A expressão u[n+3]-u[n-5] multiplica n, ou seja, o sinal é nulo fora do intervalo onde esse diferença de degraus vale 1.

Passo 2

Entender a diferença de degraus [u[n+3]-u[n-5]).
Definição rápida do degrau discreto: (,u[k]= \begin{cases}1,&k\ge0,\\\ 0,&k<0.\end{cases}]
  • Para u[n+3]: vale 1 quando n+3\ge0\Rightarrow n\ge-3, e vale 0 quando n<-3.
  • Para u[n-5]: vale 1 quando n-5\ge0\Rightarrow n\ge5, e vale 0 quando n<5.
Portanto a diferença
u[n+3]-u[n-5]=\begin{cases} 1, & -3\le n \le 4,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á

Passo 3

Simplificar o sinal usando o suporte encontrado.
Como o fator (u[n+3]-u[n-5])\) é \(1\) só para \(-3\le n\le4\) e \(0\) fora, temos \[x[n]=\begin{cases} n, & n=-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Ou seja, (x[n]] é um sinal de duração finita com 8 amostras não nulas.

Passo 4

Definição e cálculo da energia do sinal.
Definição (sinal discreto): a energia E é
E=\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^{2}.
Como x[n]=0 fora de -3\le n\le4, a soma reduz-se a esses índices:
E=\sum_{n=-3}^{4} n^{2}.
Calcular termo a termo (mostrando tudo para ficar tranquilo na prova):
(-3)^{2}=9,\quad (-2)^{2}=4,\quad (-1)^{2}=1,\quad 0^{2}=0,
1^{2}=1,\quad 2^{2}=4,\quad 3^{2}=9,\quad 4^{2}=16.
Somando:
E=9+4+1+0+1+4+9+16.
Fazendo a soma passo a passo:
9+4=13,\quad 13+1=14,\quad 14+0=14,
14+1=15,\quad 15+4=19,\quad 19+9=28,\quad 28+16=44.
Logo
E=44.

Passo 5

Definição e cálculo da potência do sinal.
Definição (sinal discreto): a potência média P é
P=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^{2}.
Aqui a soma \sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^{2} para N grande conterá sempre as mesmas 8 amostras não nulas (porque x[n] é zero fora de [-3,4]), então para N\ge4 a soma vale exatamente E=44. Assim o numerador tende para 44 enquanto o denominador (2N+1) vai para infinito. Portanto
P=\lim_{N\to\infty}\frac{44}{2N+1}=0.
Explicação intuitiva curta: sinais de duração finita têm energia finita não nula, mas espalham essa energia num intervalo de tempo infinito quando se calcula média — por isso a potência média dá zero.

Passo 6

Classificação do sinal.
  • Um sinal é dito de energia se 0< E<\infty e então sua potência média é 0.
  • Um sinal é dito de potência se 0<P<\infty e então sua energia é infinita.
No nosso caso E=44 finito e P=0, logo é um sinal de energia (não é sinal de potência).

Resposta

E=44
P=0
O sinal é um sinal de energia.

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