Calcule a energia e a potência dos seguintes sinais. Classifique os sinais como sendo de energia ou de potência.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Interpreto
como
e
como elevado ao quadrado, portanto o sinal dado é
O enunciado pede:
- Calcular a energia
do sinal (se existir); - Calcular a potência média
do sinal; - Classificar o sinal como sinal de energia ou sinal de potência.
Passo 2
Vou explicar as definições que vamos usar (passo-a-passo, bem mastigado).
Definição de energia de um sinal contínuo
:
Aqui
é um número real não-negativo. Se
dizemos que o sinal é um sinal de energia.
Definição de potência média (média de tempo) de um sinal:
Para sinais periódicos com período
podemos calcular a potência média como média numa só período:
pois a média sobre qualquer intervalo de duração
é a mesma. Se
e finita e
, dizemos que é sinal de potência. Se
e
(em geral), dizemos sinal de energia.
Observação prática: sinais periódicos não nulos têm energia infinita (porque o quadrado não decai e integra-se infinita extensão), mas geralmente têm potência média finita; essa é a classificação mais comum.
Passo 3
Simplificar o sinal usando identidade trigonométrica para trabalhar mais fácil. Lembrar:
.
Aplicando em
:
Portanto uma forma mais simples é
Vamos identificar o período. A componente
tem frequência angular
rad/s, logo o período é
O sinal é periódico com período
e tem componente DC (valor médio) igual a
(porque o termo constante é
).
Passo 4
Decidir sobre a energia
. Como
é periódico e seu valor médio (DC) é
, o integrando
tem média positiva. Logo a integral
diverge (é infinita). Mais formal: se
(potência média) for positivo, então
. Portanto
Passo 5
Calcular a potência média
usando a média em um período
:
Primeiro expandir
. Como
é real,
Expandindo:
Usar
no último termo:
Agrupando termos constantes:
Logo
Agora integramos sobre um período. As médias (integrais sobre um período) dos termos harmônicos
e
são zero. Assim a média de
é apenas a constante
. Portanto
Breve checagem alternativa (opcional): partir de
com
. Então
. A média de
é
, logo média de
é
. Confirmação do resultado.
Passo 6
Classificação final: energia
e potência média
. Como a energia é infinita e a potência média é finita e positiva, o sinal é um sinal de potência (não é sinal de energia).
Resposta
Sinal de potência