Calcule a energia e a potência dos seguintes sinais. Classifique os sinais como sendo de energia ou de potência.
x(t)=2[\cos (100 t-p i / 4)]^{\wedge} 2

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Interpreto p i como \pi e ^{\wedge}2 como elevado ao quadrado, portanto o sinal dado é
x(t)=2\bigl[\cos\bigl(100t-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\bigr]^2.
O enunciado pede:
  • Calcular a energia E do sinal (se existir);
  • Calcular a potência média P do sinal;
  • Classificar o sinal como sinal de energia ou sinal de potência.

Passo 2

Vou explicar as definições que vamos usar (passo-a-passo, bem mastigado).
Definição de energia de um sinal contínuo x(t):
E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt.
Aqui E é um número real não-negativo. Se E<\infty dizemos que o sinal é um sinal de energia.
Definição de potência média (média de tempo) de um sinal:
P = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |x(t)|^2\, dt.
Para sinais periódicos com período T_0 podemos calcular a potência média como média numa só período:
P = \frac{1}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0} |x(t)|^2\, dt,
pois a média sobre qualquer intervalo de duração T_0 é a mesma. Se P>0 e finita e E=\infty, dizemos que é sinal de potência. Se E<\infty e P=0 (em geral), dizemos sinal de energia.
Observação prática: sinais periódicos não nulos têm energia infinita (porque o quadrado não decai e integra-se infinita extensão), mas geralmente têm potência média finita; essa é a classificação mais comum.

Passo 3

Simplificar o sinal usando identidade trigonométrica para trabalhar mais fácil. Lembrar: \cos^2\theta = \dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Aplicando em x(t):
x(t)=2\bigl[\cos(100t-\tfrac{\pi}{4})\bigr]^2 =2\cdot\frac{1+\cos\bigl(2(100t-\tfrac{\pi}{4})\bigr)}{2} =1+\cos\bigl(200t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Portanto uma forma mais simples é
x(t)=1+\cos\bigl(200t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Vamos identificar o período. A componente \cos(200t-\tfrac{\pi}{2}) tem frequência angular \omega=200 rad/s, logo o período é
T_0=\frac{2\pi}{200}=\frac{\pi}{100}.
O sinal é periódico com período T_0=\tfrac{\pi}{100} e tem componente DC (valor médio) igual a 1 (porque o termo constante é 1).

Passo 4

Decidir sobre a energia E. Como x(t) é periódico e seu valor médio (DC) é 1\neq 0, o integrando |x(t)|^2 tem média positiva. Logo a integral
E=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\,dt
diverge (é infinita). Mais formal: se P (potência média) for positivo, então E=\lim_{T\to\infty} 2T\cdot P=\infty. Portanto
E=\infty.

Passo 5

Calcular a potência média P usando a média em um período T_0:
P=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0} |x(t)|^2\,dt.
Primeiro expandir |x(t)|^2. Como x(t) é real,
|x(t)|^2 = x(t)^2 = \bigl(1+\cos(200t-\tfrac{\pi}{2})\bigr)^2.
Expandindo:
x(t)^2 = 1 + 2\cos\bigl(200t-\tfrac{\pi}{2}\bigr) + \cos^2\bigl(200t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Usar \cos^2\varphi = \dfrac{1+\cos(2\varphi)}{2} no último termo:
x(t)^2 = 1 + 2\cos\bigl(200t-\tfrac{\pi}{2}\bigr) + \frac{1+\cos\bigl(400t-\pi\bigr)}{2}.
Agrupando termos constantes:
x(t)^2 = 1 + \frac{1}{2} \;+\; 2\cos\bigl(200t-\tfrac{\pi}{2}\bigr) \;+\; \frac{1}{2}\cos\bigl(400t-\pi\bigr).
Logo
x(t)^2 = \frac{3}{2} \;+\; 2\cos\bigl(200t-\tfrac{\pi}{2}\bigr) \;+\; \frac{1}{2}\cos\bigl(400t-\pi\bigr).
Agora integramos sobre um período. As médias (integrais sobre um período) dos termos harmônicos \cos(200t-\tfrac{\pi}{2}) e \cos(400t-\pi) são zero. Assim a média de x(t)^2 é apenas a constante \tfrac{3}{2}. Portanto
P=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0} x(t)^2\,dt = \frac{3}{2}.
Breve checagem alternativa (opcional): partir de x(t)=2\cos^2\theta com \theta=100t-\tfrac{\pi}{4}. Então |x|^2=4\cos^4\theta. A média de \cos^4\theta é 3/8, logo média de 4\cos^4\theta é 4\cdot\tfrac{3}{8}=\tfrac{3}{2}. Confirmação do resultado.

Passo 6

Classificação final: energia E=\infty e potência média P=\tfrac{3}{2}. Como a energia é infinita e a potência média é finita e positiva, o sinal é um sinal de potência (não é sinal de energia).

Resposta

E=\infty
P=\dfrac{3}{2}
Sinal de potência

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