Seja
derivável em toda a reta
, crescente em
e decrescente em
. Determine onde
é crescente e onde é decrescente.
Passo 1
O enunciado dá uma função
derivável em
, que é decrescente em
e crescente em
. Define-se
e pede-se onde
cresce e onde decresce. Para isso, vamos usar o critério de monotonicidade via derivada: calcular
e analisar seu sinal.
Passo 2
Aplicamos a regra da cadeia para derivar
Temos
Passo 3
Agora analisamos o sinal de cada fator em
:
-
Para
: temos e . Como é crescente em , então . Logo com sinal estritamente positivo sempre que. Assim é crescente em . -
Para
: temos e . Novamente , logo com sinal estritamente negativo se. Assim é decrescente em . -
Em
: ponto crítico (geralmente um mínimo).
Passo 4
Pela análise do sinal de
, concluímos que:
-
para todo , logo é decrescente em . -
para todo , logo é crescente em . - Em
há , caracterizando um ponto de mínima.