Seja g derivável em toda a reta R, crescente em (0,+infty) e decrescente em (-infty, 0). Determine onde f(x)=g(x^2) é crescente e onde é decrescente.

Passo 1

O enunciado dá uma função g derivável em R, que é decrescente em (-infty,0) e crescente em (0,+infty). Define-se
f(x)=gl(x^2r)
e pede-se onde f cresce e onde decresce. Para isso, vamos usar o critério de monotonicidade via derivada: calcular f'(x) e analisar seu sinal.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para derivar
f(x)=gl(x^2r)
Temos
f'(x)=g'l(x^2r)cdotddx(x^2) =2x,g'l(x^2r)

Passo 3

Agora analisamos o sinal de cada fator em f'(x)=2x,g'(x^2):
  • Para x>0: temos 2x>0 e x^2>0. Como g é crescente em (0,+infty), então g'l(x^2r)>=0. Logo
    f'(x)=2x,g'(x^2)>=0,
    com sinal estritamente positivo sempre que g'(x^2)>0. Assim f é crescente em (0,+infty).
  • Para x<0: temos 2x<0 e x^2>0. Novamente g'l(x^2r)>=0, logo
    f'(x)=2x,g'(x^2)<=0,
    com sinal estritamente negativo se g'(x^2)>0. Assim f é decrescente em (-infty,0).
  • Em x=0:
    f'(0)=2cdot0cdot g'(0)=0,
    ponto crítico (geralmente um mínimo).

Passo 4

Pela análise do sinal de f'(x), concluímos que:
  • f'(x)<0 para todo x<0, logo f é decrescente em (-infty,0).
  • f'(x)>0 para todo x>0, logo f é crescente em (0,+infty).
  • Em x=0 f'(0)=0, caracterizando um ponto de mínima.

Resposta

f é decrescente em (-infty,0) e crescente em (0,+infty).

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