Use diferenciais para estimar (calcular aproximadamente) o número raiz[3]8,01.

Passo 1

O enunciado pede usar diferenciais para aproximar raiz[3]8,01. O conteúdo envolvido é aplicação de derivadas e diferenciais, usando a ideia de que, para uma função y=f(x), a variação aproximada em y é
dy = f'(x),dx
e então f(x+De<a x)approx f(x)+dy.

Passo 2

Escolhemos um ponto simples perto de 8,01, que é a=8, pois raiz[3]8=2. Definimos
De<a x = 8,01 - 8 = 0,01
A função a considerar é
f(x) = x^1/3,
cuja derivada é
f'(x) = 13,x^-2/3

Passo 3

Calculamos a derivada em x=8:
f'(8) = 13,8^-2/3 = 13,l(raiz[3]8r)^-2 = 13cdot 2^-2 = 13cdot 14 = 112
Logo a diferencial é
dy = f'(8),dx = 112cdot 0,01 = 0,000833ldots

Passo 4

Aplicando a aproximação de primeira ordem:
raiz[3]8,01 = f(8+De<a x)approx f(8) + dy = 2 + 0,000833ldots = 2,000833ldots

Resposta

raiz[3]8,01approx 2,00083

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