Seja
um grupo abeliano de ordem 20. Mostre que
possui um elemento de ordem 5 .
Passo 1
O enunciado dá que
é um grupo abeliano finito e que
. A pergunta é: mostrar que
possui um elemento de ordem
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é um grupo finito abeliano. -
. - A fatoração de
em primos é . Em particular, o primo divide .
O objetivo é provar que existe
tal que a ordem de
é exatamente
.
Passo 2
Plano de prova (breve): vou usar um argumento clássico (uma prova de Cauchy) que mostra que, sempre que um primo
divide a ordem de um grupo finito
, então existe um elemento de ordem
. Aplico com
. Vou apresentar a prova completa, passo a passo, para que fique claro e possa ser reaplicada em prova.
Antes de começar, uma observação útil que usarei depois: se
satisfaz
(onde
é o elemento neutro) então a ordem de
divide
; como
é primo, a ordem de
é
ou
. Portanto, encontrar um elemento
com
nos dá um elemento de ordem
.
Passo 3
Definição do conjunto que vou contar. Seja
um primo que divide
; aqui mais adiante tomaremos
. Considere o conjunto
Vou calcular
. Para construir um tuplo em
podemos escolher arbitrariamente os primeiros
elementos
(cada um com
possibilidades) e então
fica determinado por
Logo o número de tuplos é
Passo 4
Ação cíclica e orbits. Considere a ação do grupo cíclico
(gerado pela rotação
) sobre
dada por rotação das coordenadas:
As órbitas dessa ação têm tamanho igual a
ou
, porque
é primo: se um tuplo é fixo por alguma potência não trivial de
então ele é fixo por
, e portanto o estabilizador tem ordem
ou
.
Caracterização dos pontos fixos: um tuplo
é fixo por
exatamente quando
para algum
. Para que tal tuplo esteja em
é necessário e suficiente que
. Portanto o conjunto de pontos fixos da ação corresponde ao conjunto
e o número de pontos fixos é
.
Passo 5
Contagem modular e conclusão sobre
. A decomposição de
em órbitas sob
implica que
mas o número de órbitas de tamanho
é exatamente
. Assim
Como
divide
por hipótese, temos que
divide
, logo
divide
. Em particular
, portanto
contém algum elemento diferente de
.
Passo 6
Extraindo um elemento de ordem
. Se
e
, então
. Como a ordem de
divide
e
é primo, a ordem de
só pode ser
ou
. Como
, sua ordem é
. Portanto existe um elemento de ordem
.
Passo 7
Aplicação ao caso
. No problema temos
e
divide
. Aplicando o argumento acima com
obtemos que existe
com ordem
.
Resposta
Existe um elemento de ordem
.