Seja G um grupo abeliano de ordem 20. Mostre que G possui um elemento de ordem 5 .

Passo 1

O enunciado dá que G é um grupo abeliano finito e que |G|=20. A pergunta é: mostrar que G possui um elemento de ordem 5.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • G é um grupo finito abeliano.
  • |G|=20.
  • A fatoração de 20 em primos é 20=2^{2}\cdot5. Em particular, o primo 5 divide |G|.
O objetivo é provar que existe g\in G tal que a ordem de g é exatamente 5.

Passo 2

Plano de prova (breve): vou usar um argumento clássico (uma prova de Cauchy) que mostra que, sempre que um primo p divide a ordem de um grupo finito G, então existe um elemento de ordem p. Aplico com p=5. Vou apresentar a prova completa, passo a passo, para que fique claro e possa ser reaplicada em prova.
Antes de começar, uma observação útil que usarei depois: se a\in G satisfaz \,a^{p}=e (onde e é o elemento neutro) então a ordem de a divide p; como p é primo, a ordem de a é 1 ou p. Portanto, encontrar um elemento a\neq e com a^{p}=e nos dá um elemento de ordem p.

Passo 3

Definição do conjunto que vou contar. Seja p um primo que divide |G|; aqui mais adiante tomaremos p=5. Considere o conjunto
X=\{(g_{1},g_{2},\dots,g_{p})\in G^{p}\mid g_{1}g_{2}\cdots g_{p}=e\}.
Vou calcular |X|. Para construir um tuplo em X podemos escolher arbitrariamente os primeiros p-1 elementos g_{1},\dots,g_{p-1} (cada um com |G| possibilidades) e então g_{p} fica determinado por
g_{p}=(g_{1}g_{2}\cdots g_{p-1})^{-1}.
Logo o número de tuplos é
|X|=|G|^{\,p-1}.

Passo 4

Ação cíclica e orbits. Considere a ação do grupo cíclico C_{p} (gerado pela rotação \sigma) sobre X dada por rotação das coordenadas:
\sigma\cdot(g_{1},g_{2},\dots,g_{p})=(g_{2},g_{3},\dots,g_{p},g_{1}).
As órbitas dessa ação têm tamanho igual a 1 ou p, porque p é primo: se um tuplo é fixo por alguma potência não trivial de \sigma então ele é fixo por \sigma, e portanto o estabilizador tem ordem 1 ou p.
Caracterização dos pontos fixos: um tuplo (g_{1},\dots,g_{p}) é fixo por \sigma exatamente quando g_{1}=g_{2}=\cdots=g_{p}=a para algum a\in G. Para que tal tuplo esteja em X é necessário e suficiente que a^{p}=e. Portanto o conjunto de pontos fixos da ação corresponde ao conjunto
A=\{a\in G\mid a^{p}=e\},
e o número de pontos fixos é |A|.

Passo 5

Contagem modular e conclusão sobre |A|. A decomposição de X em órbitas sob C_{p} implica que
|X| \equiv \#\{\text{órbitas de tamanho }1\} \pmod{p},ó
mas o número de órbitas de tamanho 1 é exatamente |A|. Assim
|G|^{\,p-1}=|X|\equiv |A|\pmod{p}.
Como p divide |G| por hipótese, temos que p divide |G|^{\,p-1}, logo p divide |A|. Em particular |A|\ge p, portanto A contém algum elemento diferente de e.

Passo 6

Extraindo um elemento de ordem p. Se a\in A e a\neq e, então a^{p}=e. Como a ordem de a divide p e p é primo, a ordem de a só pode ser 1 ou p. Como a\neq e, sua ordem é p. Portanto existe um elemento de ordem p.

Passo 7

Aplicação ao caso p=5. No problema temos |G|=20 e 5 divide 20. Aplicando o argumento acima com p=5 obtemos que existe a\in G com ordem 5.

Resposta

Existe um elemento de ordem 5.

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